1.4 第1课时 角平分线的性质及逆定理 素养目标 1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理的简单应用. 2.掌握作已知角平分线的方法. ◎重点:角平分线的性质定理及其逆定理的应用. 预习导学 知识点一 角平分线的性质定理 阅读课本本课时“动脑筋”之前的所有内容,回答下列问题. 1.角平分线是一条 ,它把这个角分成两个相等的角. 2.通过折叠后,对应相等的线段有: = , = ,相等的角有∠ =∠ ,∠ =∠ . 3.P是∠AOB的平分线OC上的任意一点,PD,PE是 ;在这两个三角形中有 对应相等,所以△PDO≌△PEO,根据 判定定理. 【答案】1.射线 2.PD PE OD OE AOC BOC DPO EPO 3.垂线段 两角一边 AAS 归纳总结 角平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的 相等. 【答案】距离 对点自测 如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是 ( ) A.PC=PD B.∠CPD=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD 【答案】B 知识点二 角平分线的性质定理的逆定理 阅读课本本课时“动脑筋”至“例1”之前的一段内容,回答下列问题. 1.点到直线的距离是指过这点向这条直线所作的 的长. 2.角的内部到角的两边距离相等的点有 个,这样的点都 上. 3.由PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E说明PD,PE就是点P到 ,同时可以得出两个直角相等,结合题目中的隐含条件 ,根据 判定定理可得Rt△PDO≌Rt△PEO,得出结论. 【答案】1.垂线段 2.无数 在一条射线 3.角两边的距离 公共边 HL 归纳总结 角平分线的性质定理的逆定理:角的内部到角的两边 相等的点在角的 上. 【答案】距离 平分线 对点自测 如图,这是一个风筝骨架.为使风筝平衡,须使∠AOP=∠BOP.我们已知PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,那么PC和PD应满足 ,才能保证OP为∠AOB的平分线. 【答案】PC=PD 合作探究 任务驱动一 角平分线的性质定理的应用 1.如图,折叠直角三角形纸片的直角,使点C落在AB上的点E处.已知BC=12,∠B=30°,则DE的长是( ) A.6 B.4 C.3 D.2 2.如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OB于点C,且PC=3,点P到OA的距离为 . 3.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连接EF,EF与AD交于点G,AD与EF垂直吗 证明你的结论. 4.在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB. (1)如图1,若∠ABC=60°,∠ACB=40°,求∠BDC的度数. (2)如图2,连接AD,过点D作DE⊥AB于点E,DE=1,AC=4,求△ADC的面积. 【答案】1.B 2.3 3.解:AD与EF垂直. 证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中,DE=DF,AD=AD,∴Rt△ADE≌Rt△ADF,∴∠ADE=∠ADF,又DE=DF,∴DA⊥EF. 4.解:(1)∵BD平分∠ABC, ∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°. ∵CD平分∠ACB, ∴∠DCB=∠ACB=×40°=20°, ∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-30°-20°=130°. (2)如图,过点D作DF⊥AC于点F,DH⊥BC于点H. ∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DH⊥BC, ∴DH=DE=1. ∵CD平分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC, ∴DF=DH=1, ∴S△ADC=DF·AC=×1×4=2. 任务驱动二 角平分线性质定理与逆定理的综合 5.如图,在△ABC中,BP,CP分别是△ABC的外角的平分线,求证:∠1=∠2. 【答案】证明:如图,过点P作PE⊥AB于点E,PG⊥AC于点G,PF⊥BC于点F. ∵P在∠EBC的平分线上,PE⊥AB,PF⊥BC,∴PE=PF.同理可证PF=PG.∴PG=PE,又PE⊥AB,PG⊥AC,∴PA是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2. 学习小助手 (1)角的平分线性质的应用涉及角平分线上的点到角的两边的距离,因此每一个角需要构造两条垂线,所以过点P作PE AB,PG AC,PF BC. (2)由PE⊥AB,PF⊥BC得出: .由PG⊥AC,PF⊥BC得出: . 【答案】(1)⊥ ⊥ ⊥ (2)PE=PF PF=PG 2 ... ...
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