中小学教育资源及组卷应用平台 人教版初中数学八年级下册 17.2.2 勾股定理的逆定理的应用 教学设计 一、教学目标： 1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题. 二、教学重、难点： 重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题. 三、教学过程： 复习回顾 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. ∵，a、b为直角边，c为斜边. ∴ 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c 满足，那么这个三角形是直角三角形. ∵△的三边a、b、c满足 ∴是直角三角形 典例解析 例1.如图，一块四边形花圃中，已知，，，，. (1)求四边形花圃的面积； (2)求到的距离． （1）解：连接， ∵，，， ∴m， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形花圃的面积 ∴四边形花圃的面积是； （2）过点C作于E， ∵， ∴， ∴， ∴到的距离是． 例2.在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原来的路线的长． 解：∵千米，千米，千米，即， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，即， 解得：， 答：原来的路线的长为千米． 【针对练习】2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． (1)问这片绿地的面积是多少？ (2)小区内部分居民每天必须从点经过点再到点位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点直通点的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点到点将少走多少路程？ （1）解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形，即， ，， ， （2）解：. 例3.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 解：根据题意， PQ=16×1.5=24， PR=12×1.5=18， QR=30. ∵ 242+182=302，即PQ2+PR2=QR2 ∴ ∠QPR=90° 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. 【点睛】解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解. 【针对练习】如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？ 分析：根据勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD. 解：∵AC=10，AB=6，BC=8， ∴AC2=AB2+BC2， 即△ABC是直角三角形. 设PQ与AC相交于点D，根据三角形面积公式有 BC·AB=AC·BD， 即6×8=10BD，解得BD=. 在Rt△BCD中， 又∵该船只的速度为12.8海里/时， 6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟）， ∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海. 例4.如图，已知等腰△ABC的底边 ... ...
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