2023-2024学年八年级下册数学同步精品课堂（沪教版） 第 21章代数方程 21.4无理方程（第1课时） 学习目标 1、理解无理方程的概念, 会识别无理方程; 知道有理方程及代数方程的概念. （重点） 2、经历探索无理方程解法的过程, 领会无理方程“有理化”的化归思想. 3、知道解无理方程的一般步骤，会解简单的无理方程知道验根是解无理方程的重要步骤，掌握验根的常用方法. （难点） 对方程的研究，总是与代数式相联系.我们已经学习了整式方程、分式方程,现在来讨论与根式有关的方程. 问题1 用一根 30 厘米长的细铁丝弯折成一个直角三角形,使它的一条直角边长为 5 厘米，应该怎样弯折? 要把一根细铁丝弯折成一个直角三角形，关键是确定其中两边的长.为此,需求另一条直角边或斜边的长. 于是,这个问题可以解决. 已知细铁丝的长是 30 厘米，因此可列出方程 上面这个方程有什么特点?它与前面所学的方程有什么区别? 方程中不仅含有根号，而且根号里含有未知数 x. 定义 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。无理方程也叫做根式方程。 辨一辨：下列方程是不是无理方程？若不是，则是什么方程？ （1） （2） （3） 整式方程 分式方程 无理方程 【练一练】下列方程中，属于无理方程的是( ____ ) A. ????2?2=0 B. 2????=1 C. 2????=1 D. 2 x=0 ? 【解析】解：A属于一元二次方程，所以不是无理方程，不符合题意； B属于无理方程，符合题意； C属于分式方程，所以不是无理方程，不符合题意； D属于一元一次方程，所以不是无理方程，不符合题意． B 故选：B． 实数 有理数 无理数 整数 分数 有理式 无理式 代数式 整式 分式 代数方程 有理方程 无理方程 整式方程 分式方程 正整数 零 负整数 多项式 单项式 类比 定义 整式方程和分式方程统称为有理方程. 有理方程和无理方程统称为代数方程. 代数方程 有理方程 无理方程 整式方程 分式方程 问题2：怎样解方程 有理方程 无理方程 整式方程 分式方程 转化 转化 怎样将无理方程转化成有理方程？ 去根号 方程变形的依据是什么？ 无理方程 两边同时乘方 有理方程 将方程 两边同时平方 即 二次根式的性质： 下面,我们来探讨简单的无理方程的解法。 解方程 方程两边平方，得 整理，得 解方程，得 它们都是原方程的根吗？ 检验：把x=4代入原方程的两边，左边=4，右边=4 左边=右边， x=4是原方程的根 把x=-1代入原方程的两边，左边=-1，右边=1 左边≠右边， x=-1是原方程的增根，舍去 ∴原方程的根是x=4 讨论：为什么会产生增根？ 解无理方程的一般步骤是什么？ 是 开始 去根号 解有理方程 检验 写出原方程的根 舍去 结束 无理方程如何进行“验根”？ 代入原方程的左边和 右边，使左边=右边， 且根号有意义． 增根产生的原因是什么？ 平方把无理方程化为 有理方程，使原方程 中未知数允许取值的 范围扩大了． 不是 归纳 当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形,使这个二次根式单独在一边;然后方程两边同时平方,将这个方程化成有理方程.由于这一步骤必需且可能产生增根，因此验根是必不可少的步骤。 思考 不解方程 你能判断这个方程实数根的情况吗? 是一个非负数 左边=一个非负数+1>0，右边=0, 所以原方程没有实数根． 归纳 1.已知下列关于x的方程 其中无理方程是_____(填序号). （2） （3） （5） 课本练习 解方程： . 解：两边平方，得 整理，得 解这个方程，得 检验： 把x= 分别代入原方程两边， 左边= 右边= 由左边 右边 可知x= 是 把x= 分别代入原方程两边， 左边= 右边= 由左边 右边 可知x= 是 所以，原方程的根是 2 -2 2 增根，舍去. -1 1 = -1 原方程的根. 在横线上填写适当的式、数或符号,完整表达解方程的过程. 2.填空： C 1.下列方程有实数解 ... ...
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