18.1《勾股定理》（1）导学案

中小学教育资源及组卷应用平台 18.1《勾股定理》（1）导学案 班级_____ 姓名_____ 组别_____ 学习目标 1.了解勾股定理的由来； 2.探索直角三角形的三边之间关系，了解利用拼图验证勾股定理的方法； 3.掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题. 学习重难点 重点：探索和验证勾股定理的过程； 难点：通过面积计算探索勾股定理. 学法指导 通过勾股定理的探究和验证，学会用直角三角形的三边关系解决实际问题. 学习过程 一、课前自习，温故知新 1.查找相关资料或上网查找有关勾股定理的由来. （1）勾股定理是一个基本的几何定理，它在许多领域都有着广泛的应用，国内外都有很多科学家、知名人士对此都有过研究，至今已有500多种证明方法。 （2）国内：公元十一世纪周朝数学家就提出“勾三股四弦五”，在《周髀算经》中有所记载。公元3世纪三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，创制了一幅“勾股圆方图”，把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。 （3）国外：公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。1876年4月1日，加菲乐德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。 2.写出勾股定理的内容. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。 二、课内探究，交流学习 1.探究1：在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图，并以S1，S2 与S3分别表示几个正方形的面积． 观察图（1），并填写： S1＝_____个单位面积；S2＝_____个单位面积；S3＝_____个单位面积． 观察图（2），并填写： S1＝_____个单位面积；S2＝_____个单位面积；S3＝_____个单位面积． 图（1），（2）中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示， 是：_____. 【答案】（1）9，9，18 （2）9，16，25 32+32=（3）2 问题：通过以上探究，你能得出什么结论吗？ 用文字叙述：_____ _____. 【答案】直角三角形两条直角边长的平方和，等于斜边的平方。 如图1，用字母表述： 在△ABC中，∠C＝90°，设BC＝a，AC＝b，AB＝c， 则△ABC的三边a，b，c三边的关系为: _____. 【答案】a2＋b2=c2 填一填： 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为_____，较长的直角边称为_____，斜边称为_____，因此，我们称上述定理为_____. 国外称之为_____定理. 【答案】勾，股，弦，勾股定理，毕达哥拉斯定理 2.动手拼一拼： 请同学们用纸剪四个全等的直角三角形（两直角边分别为a，b，斜边为c），然后动手拼成如下图形： 3.探究2： 我们怎样用面积计算的方法来证明勾股定理呢？ 已知：如图，在Rt△ABC中，，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b， 求证：a2+b2＝c2. 【答案】 证明：取4个与Rt ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的边长为a+b的正方形EFGH 从图中可见，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c 因为 ∠B1A1E+∠A1B1E=90°,而∠A1B1E=∠D11AH, 因此： ∠B1A1E+∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°. 同理:∠A1B1C1=∠B1C1D1=∠C1D1A1=90°, 所以四边形A1B1C1D1是边长为c的正方形. 正方形EFGH和正方形A1B1C1D1的面积分别记作S正方形EFCH和S正方形A1B1C1D1 ,则 S正方形EFGH-4S ABC=S正方形A1B1C1D1， 即(a +b)2 -4 xab = c2. 化简,得 a2 +b2=c2. 4.随堂练习 1.如图，在矩形中，，，点E在上，等于，，连接．作，垂足为M． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质， ... ...