2023-2024学年上海市延安中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市延安中学高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知实常数、，是为双曲线方程的_____条件( ) A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 2.下列命题是假命题的是( ) A. 不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则该直线与这个平面平行 B. 如果一条直线与平面上的两条直线都垂直，则该直线与这个平面垂直 C. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 D. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 3.设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有_____条( ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身；平面曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线定义为曲线的“伴随曲线”，则下列命题： 若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； 圆心在原点的单位圆的“伴随曲线”是它自身； 若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称； 一条直线的“伴随曲线”是一条直线． 真命题的序号是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 5.若球的半径为，则其表面积为_____． 6.已知向量，，，则 _____． 7.已知圆锥的底面直径为，高是，则母线长为_____． 8.经过，两点的直线方程的一般式是_____． 9.已知直线：恒过定点，则定点坐标是_____． 10.方程表示一个圆，则实数的取值范围是_____． 11.一个正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，那么这个正三棱锥的体积是_____． 12.直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是_____． 13.当点在圆上变动时，它与定点相连，线段的中点的轨迹方程是 _____． 14.已知双曲线方程，直线，在第一象限内与双曲线及渐近线围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为_____提示：利用祖暅原理 15.设，为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，点，当取最小值时，的值为_____． 16.已知中心在原点，离心率为的椭圆的一个焦点为圆：的圆心，点是椭圆上第三象限内的一点，过点作两条斜率之积为的直线都与圆相切时，点的坐标是_____． 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知直线经过点，且被两平行线所截得的线段长为． 求，之间的距离； 求直线的方程． 18.本小题分 已知圆经过原点且与轴相切，与轴正半轴交于点． 求圆的方程； 判断点与圆的位置关系，并求经过点的圆的切线方程． 19.本小题分 已知双曲线方程，渐近线方程为，并且经过点． 求双曲线方程； 设，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程． 20.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． 求平面与平面所成锐二面角的余弦值； 求点到平面的距离； 在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． 21.本小题分 已知椭圆方程为，离心率为且过点． 求椭圆方程； 动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于、两点，证明：直线、的斜率乘积为定值； 过左焦点的直线交椭圆于、两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解：当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件． 故选：． 先求出表示双曲线的充要条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断． 本题主要考查双曲线的标准方程，属于基础题． 2.【答案】 【解析】解：对于，不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则根据线面平行的判定该 ... ...