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课件网) 第四章 三角形 7 直角三角形的性质与判定 学习目标 2022版课标要求 1. 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角 形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个 角互余的三角形是直角三角形. 2. 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 要点归纳 1. 直角三角形的性质与判定 概念 有一个角是 的三角形叫做直角三角形 性质 （1）直角三角形两锐角之和等于①_____，如图， ②_____； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的③_____，如 图， 是斜边上的中线， ④_ _ ； （3）勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，那么⑤_ _____ 一半 要点归纳 判定 （1）有一个角是 的三角形是直角三角形（定 义）； （2）有两个角⑥_____的三角形是直角三角形； （3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形； （4）某边上的中线等于该边的一半的三角形是直角三角 形（需证明） 互余 要点归纳 面积 计算 公式 ，其中 ， 为两直角边长， 为斜边 长， 为斜边上的高 2.等腰直角三角形的性质与判定 性质 （1）两条直角边⑦_____； （2）两个锐角⑧_____，均为⑨____ ； （3）斜边上的高把它分成两个小的等腰直角三 角形； （4）一条直角边与斜边长的比为⑩_____ 相等 相等 45 1 要点归纳 判定 （1）有一个角是 的等腰三角形是等腰直 角三角形； （2）有两个角均为 _____的三角形是等腰直 角三角形； （3）一个直角三角形的三条边长的比是 _____，这个三角形是等腰直角三角形 1 要点归纳 3. 含 角的直角三角形 图形 性质 （1）两个锐角的度数分别为 ， _____； （2） 角所对的直角边等于斜边的 _____；（反 过来，若在一个直角三角形中，一个锐角所对的直角边 等于斜边的一半，那么这个锐角的度数为 _____） （3）斜边中线将其分为一个 _____三角形和一个底 角为 的等腰三角形.如图， 为斜边上的中线， 是 _____； （4）三条边长的比（从小到大）为 _____ 一半 等边 等边三角形 要点归纳 4.勾股定理及其探索过程 （1）赵爽弦图（图1） 图1 大正方形的边长为 ， 大正方形的面积为 ，又 ， . 要点归纳 （2）毕达哥拉斯拼图（图2） 图2 由左图得 ，由右图得 ， . 要点归纳 （3）伽菲尔德总统拼图（图3） 图3 设梯形的面积为 ，则 ， ， . 要点归纳 （4）勾股定理的拓展应用 ①如图4、5、6，以 的三条边为边向外分别作正方形、等边三角 形、半圆，则 , , 之间的数量关系满足 _ _____； 图4 图5 图6 要点归纳 ②如图7，以 的三条边为边向外分别作扇形，且满足 ，则 , , 之间的数量关系满足 _ _____. 图7 要点归纳 5.5种特殊的三角形辅助线作法 简记：有特殊角 ， ， ，作垂线，构造直角三角形. 6.直角三角形的分类讨论 （1）已知直角三角形两边长求第三边时,若没有确定直角边和斜边,需要分 类讨论 典例讲解 例1 直角三角形的两边长是3和4，则第三边长是 _ _____. 或5 【方法指导】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为4的边是否为 斜边，所以要分情况讨论（如图8）:①边长为4的边为斜边；②边长为4的 边为直角边. 图8 典例讲解 （2）已知三角形为直角三角形，若没有确定直角顶点，需要分类讨论 例2 已知 ， 是线段 上的两点， , , ,以 为中心顺时针旋转点 ,以 为中心逆时针旋转点 ，使 ， 两点重合 成一点 ,构成 ，设 ,若 为直角三角形，则 的值为 _ _____. 或 典例讲解 【方法指导】 是直角三角形，并没有说明哪条边是斜边，应该分 情况讨论（如图9）：①若 为斜边，则 ；②若 为 斜边，则 ；③若 为斜边，则 ， 即 ，方程没有实数根. 图9 典例 ... ...
