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课件网) 5.1.2 垂线 1.垂线的定义：两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是 _____时，这两条直线就互相垂直，其中一条直线叫做另一条 直线的_____，它们的交点叫做_____.如图所示，记为 ，垂足为 . 直角 垂线 垂足 知识梳理 2.垂线的性质：在同一平面内，过一点_____一条直线与 已知直线垂直. 3.垂线段：过直线外一点画已知直线的垂线，以这点和垂足为端 点的线段就是这点到这条直线的垂线段.连接直线外一点与直线 上各点的所有线段中，_____最短.简单说成：_____. 有且只有 垂线段 垂线段最短 4.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的_____， 叫做点到直线的距离.如图所示， 的长度即点 到直线 的 距离. &1& 注意 点到直线的距离是垂线段的长度，垂线段是图形，不能说垂线段是距离. 长度 垂线（段）有关的概念及垂线的画法 例1 如图， 是 的边 上的一点. 例题讲解 （1）①过点 画 的垂线，与 的反向延长线交于点 ； ②过点 画 的垂线，垂足为 . 解：①②如图所示. （2）线段____的长表示点 到直线 的距离； 线段_____的长表示点 到直线 的距离； 线 段 的长表示点 到直线_ ___的距离. （3）比较线段 , 的长短：_____,理由是_____ ____. 垂线段最短 跟踪训练 1.（2023·南岸区期中）如图，小李计划把河中 的水引到水池 进行蓄水，发现沿线段 挖 渠，能使水渠最短，其中蕴含的数学原理是 ( ) A A.垂线段最短 B.经过一点有无数条直线 C.过两点有且仅有一条直线 D.两点之间，线段最短 2.如图， ， ， ， ，点 到直线 的距离可能是( ) D A.8 B.7 C.6 D.5 变式 在第2题中，题干条件不变，若 ， ，则点 到 的距离是___，点 到 的距离是__， 点 到 的距离是____. 6 8 4.8 3.如图所示，已知码头、火车站分别位于 ， 两点，直线 和 分别表示铁路与河流. （1）从火车站到码头怎样走最近 画图并说明理由. （2）从码头到铁路怎样走最近 画图并说明理由. （3）从火车站到河流怎样走最近 画图并说明理由. 解：如图所示. （1）沿 走.理由：两点之间线段最短. （2）沿 走.理由：垂线段最短. （3）沿 走.理由：垂线段最短. [解析] 易错提示 第（2）问中，垂线段的垂足在直线 （铁路） 上，第（3）问中，垂线段的垂足在直线 （河流）上.画图时 因受直线 ， 的互相干扰，容易画错垂线段.常见错误如下： 利用垂线的定义求角的度数 例2 如图，直线 与 相交于点 ， 于点 . （1）如图1，若 平分 ，求 的度数； 解： , . 平分 ， ， . （2）如图2，若 ，且 平分 ，求 的度数. 解： ， 设 ，则 ， . 平分 ， . , ，解得 ， . 跟踪训练 第4题图 4.（2022·河南）如图，直线 ， 相交于 点 ， ，垂足为 .若 ， 则 的度数为( ) B A. B. C. D. 第5题图 5.（2023·沙坪坝区期末）如图，直线 和直线 相交于点 ， ，垂足为 ， 平 分 .若 ，则 的度数 为_ ____. 6.如图，已知点 在直线 上， ， 平分 ， ，求 的度数. 解： 点 在直线 上， ， . 平分 ， . ， ， . 强化练习 1.下列图形中，线段 的长度表示点 到直线 的距离的是 ( ) D A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& 2.如图，河道 的同侧有 , 两个村庄，现计划铺 设一条管道将河水引至 , 两地，下面的四个方案 中，铺设管道长度最短的是( ) A A.&5& B.&6& C.&7& D.&8& 3.如图，直线 ， 相交于点 ， 于点 .若 ，则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. 第4题图 4.（教材P8习题 变式）如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为 .若 ，则 的度数为_ _____. 第5题图 5.如图，已知直线 与 相交于点 ， 平分 .若 ，且 ，则 的度数为_ _____. 6.（2023·重庆育才中学阶段练习）如图， 是 的边 上的一点，按下列要求作图并回答问题. （1）过点 作 的垂线，交 于点 ； ... ...
