2024年中考数学高频考点突破——圆的切线证明（含解析）

2024年中考数学高频考点突破——— 圆的切线证明 1．如图，是圆内接四边形的对角线，于点平分． (1)求的度数； (2)点在的延长线上，是该圆的切线． ①求证：是该圆的切线； ②若，直接写出的长． 2．如图，是圆O的直径，O为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点E． (1)判断直线是否为的切线，并说明理由； (2)如果，，求的长． (3)在（2）的条件下，将线段以直线为对称轴作对称线段，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形为菱形． 3．如图，是圆的直径，为圆心，是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点． (1)判断直线是否为的切线，并说明理由； (2)将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形． 4．如图1和图2，线段，点C在上．以为直角边构造，使．点O是上一点（包括端点），以点O为圆心、为半径作半圆，交于点E． (1)如图1，平分，交于点F，连接．求证：是半圆所在圆的切线； (2)如图2，点G，E关于对称，连接交于点H，设．若，求与r的数量关系； (3)若，的长为，直接写出点B与半圆所在圆的位置关系． 5．如图，AB是圆的直径，C，D是圆上的点（在AB同侧），过点D的圆的切线交直线AB于点． (1)若，，求AC的长； (2)若四边形ACDE是平行四边形，证明：BD平分． 6．如图，已知线段，点C为上一点，以点C为圆心，分别以，为半径在的上方作圆心角均为的扇形和扇形． (1)求证：； (2)已知，若是扇形所在圆的切线． ①求的长； ②判断和扇形所在圆的位置关系，并说明理由． 7．如图，已知点A、B、C在⊙O上，且AC=6，BC=8，AB=10．点E在AC延长线上，连接BE，且BE2=AE CE． (1)求证：BE为⊙O的切线； (2)若点F为△ABE外接圆的圆心，求OF的长． 8．如图，AC＝AD，在△ACD的外接圆中，弦AB平分∠DAC，过点B作圆的切线BE，交AD的延长线于点E． (1)求证：CDBE． (2)已知AC＝7，sin∠CAB＝，求BE的长 9．如图，圆O是△ABP的外接圆，∠B＝∠APC； （1）求证：PC是圆的切线； （2）若AP＝6，∠B＝45°，求劣弧AP的长． 10．如图1，四边形内接于，为延长线上一点，平分． （1）求证：； （2）如图2，若为直径，过点的圆的切线交延长线于，若，，求的半径． 11．如图，已知以的边为直径作的外接圆的平分线交于，交于，过作交的延长线于． （1）求证：是切线； （2）若求的长． 12．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，它的外接圆的圆心O在其内部，连结OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于点D． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若∠BAD=105°，⊙O的半径为2，求劣弧AB的长． 13．如图，△ABC是钝角三角形，，圆O是△ABC的外接圆，直径PQ恰好经过AB的中点M，PQ与BC的交点为D，，l为过点C圆的切线，作，CF也为圆的直径. （1）证明：； （2）已知圆O的半径为3，求的值. 14．如图,AB是⊙O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且,延长PD交圆的切线BE于点E. (1)求证:PD是⊙O的切线； (2)若,,求PA的长. 15．如图，线段BC所在的直线 是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD＝BC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E. 点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EF＝BD. (1)求证：EF∥BC； (2)若EH＝4，HF＝2，求的长. 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．(1) (2)②的长为3． 【详解】（1）解：平分， ． ， ． ， ． ． ； （2）①证明：如图，取的中点，连接． ， 是该圆的直径． 点是该圆的圆心． 是的切线， ． ， ． ， ． ． 是的切线； ②∵、都是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，是等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的长为3． 2．(1)是的切线，(2)1； 【详解】（1）直线为的切线，理由如下： 如图1，连接， ∵是的直径， ， ， ∵， ， ， ∴，即， ∵是的半径， 直线 ... ...