2024年人教版数学中考复习专题训练：相似三角形与圆结合综合问题（含答案）

2024年人教版数学中考复习专题训练： 相似三角形与圆结合综合问题 1．如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，交于点，连接并延长交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 2．如图，是的直径，点F在上，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点D，延长相交于点C． (1)判断 与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为5，，求的长． 3．如图，中，，点在外，是的弦，，连接若交于点，交于点，满足． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 4．如图1，为的直径，弦于点，是上一点，延长，交于点，连结，，与交于点． (1)若，用含的代数式表示． (2)如图2，连结，，若，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作于点，与交于点，，，求的长． 5．如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．如图，在中，，平分，交于点D，以为直径作，交于点E，交于点F，连接交于点G，连接交于点P，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求： ①的值； ②线段的长． 7．如图，内接于，是的直径，，过点A作，交于点E，点F是上一点，连接交于点G，连接交于点H． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)设，，求y关于x的函数表达式． 8．如图，是的直径，点D在上，连接，过点O作，交于点E，连接并延长，交的延长线于点C，过点B作的切线，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长的长． 9．已知的半径为，P是外一点，，点A、B在上，在中，． (1)如图①，是的切线，当时，求证：是的切线； (2)如图②，、分别交于点C、D，当点C为中点时，求的长； (3)线段的取值范围是_____． 10．如图，在的内接四边形中，，直径，垂足为点F． (1)当时，求的度数； (2)当，时，求的长． 11．如图，以为直径的经过点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的值． 12．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 13．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，接水槽所在的直线是圆O的切线，且与直线交于点M，当点P恰好在MN所在的直线上，P、O、C三点共线，是圆O的直径时，解决下面的问题： (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，，求的长． 14．已知、是圆的直径，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，是上一点，，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，的延长线交于，若，．求的长． 15．如图1，是的外接圆，且满足，平分交于点、交于点． (1)求证：； (2)如图2，若点是的中点，求的度数； (3)如图3，连接，若， ①求的值； ②若半径为，则_____．（用含的代数式表示） 参考答案： 1．（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，， ∴， 设圆O的半径为r，则 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴， 解得． ∴的半径为3． 2．（1）解：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． （2）解：如图，连接． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， 则． 又∵， 在中，， 即：， 解得， 则， ∴， 解得，． ∵， ∴， ∴， 设， ∴，解得：， 经检验：是原方程的解， 故的长为． 3．1）证明：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 与相切． （2）解：，，， ，， ， ， ... ...