江苏省南菁高级名校、常州市第一名校2023-2024学年高二下学期3月月考试题 数学 （含答案）

常州一中2023-2024第二学期阶段质量调研 高二数学 一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的， 1.已知直线与直线垂直，则（ ） A.-1 B.1 C.2 D.4 2.已知，则（ ） A.0 B.-3 C.2 D.3 3.抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4.设正项等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） A.2或-3 B.3 C.2 D.-3 5.若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为 A. B. C. D. 6.已知等差数列和的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 7.已知椭圆和点，直线与椭圆交于两点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8.定义在上的函数的导函数是，对任意，有，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知椭圆的上顶点为，左 右焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A.若，则 B.若椭圆的离心率为，则 C.当时，过点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值为 D.若直线与椭圆的另一个交点为，则 10.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（ ） A. B.当时， C.当时，不是数列中的项 D.若是数列中的项，则的值可能为7 11.若函数，其导函数为，则下列说法正确的是（ ） A.函数没有极值点 B.是奇函数 C.点是函数的对称中心 D. 三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为_____. 13.数列满足：，，；令，则数列的前项和为_____. 14.过点可以作函数两条互相垂直的切线，则实数的取值范围是_____. 四 解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（13分）已知数列的前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和为. 16.（15分）（1）已知函数，在区间上存在减区间，求的取值范国； （2）已知函数.讨论函数的单调性； 17.（15分）已知正项数列满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）若，数列的前项和为.证明：. 18.（17分）已知函数. （1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19.（17分）如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上.过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：； （3）若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值. 参考答案 单选题 1-8BDDB CACA 7.【详解】由于，所以在椭圆上，设的中点为，则，则直线过点，且是的中点，设，则：， 两式相减并化简得，所以，即直线的斜率为，所以直线也即直线的方程为.故选：C 9.【答案】ABD【详解】对于项，若，因，可得，则，故项正确；对于B项，由可解得：，故B项正确；对于C项，时，椭圆，因过点的直线被椭圆所截的弦长的最小值为通径长，即，故项错误；对于项，如图，因为，设点，由可得，解得：，代入椭圆中，可得，即，解得：，D项正确. 10.【答案】ABD【详解】对于A，由题意得，A正确； 对于B，新数列的首项为2，公差为2，故，B正确； 对于C，由B选项知，令，则，即是数列的第8项，C错误； 对于D，插入个数，则， 则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项，为公差的等差数列， 于是，而是数列的项，令，当时，，D正确.故选：ABD 11.【答案】ACD 12.根据椭圆定义可知，由勾股定理可得，所以可得，因此可得三角形的面积为.故答案为：4 13.【详解】数列满足： ... ...