2023-2024学年高一数学（沪教版2020必修第二册） 第 7章 三角函数 7.2 余弦函数的图像与性质 学习目标 1.建立余弦函数的概念，通过平移将余弦函数转化为正弦函数（重点） 2.探讨余弦函数的图像与性质，掌握余弦函数的奇偶性、周期性、单调性、值域与最值等性质及其图像特征.（重难点） 情境导入 将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图(1)所示).在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.图(2)就是某个简谐运动的图象. 通过上述实验，你对余弦函数图象的直观印象是怎样的？ 【想一想】 【提示】余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线. 我们知道，对于任意一个给定的实数????，都有唯一确定的余弦值cos???? 与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做余弦函数，记作????=cos???? 余弦函数的定义域是实数集R． ? 1.余弦函数的图像 怎样作余弦函数??=cos????的图像呢？ 当然，我们可以像对正弦函数????=????????????????一样，把任意角的余弦值cos???? 用角的终边与单位圆的交点的横坐标表示，用描点法作出余弦函数的图像 ? 新课讲解 但是，由于已经知道了正弦函数????=sin????的图像，我们可以简便地利用余弦函数与正弦函数的关系来作出余弦函数的图像．事实上，由于cos????=sin????+????2对任意的????∈????都成立，因此余弦函数????=cos????与函数????=sin????+????2是同一个函数，从而它们的图像相同．由于将正弦函数 ????=sin????的图像向左平移????2就得到函数????=sin????+????2的图像，即????=cos????的图像（图７-２-１）．余弦函数的图像通常称为余弦曲线． ? 观察余弦函数的图像，并对比正弦曲线，可知余弦曲线在区间0,2????上的五个关键点的坐标是0,1、????2,0、????,?1、3????2，0、2????,1 ? 2.余弦函数的性质 利用余弦函数????=cos????与正弦函数????=????????????????的关系cos????=sin????+????2，由正弦函数的性质就容易推出余弦函数的性质： ? （１）余弦函数????=cos????是周期函数，2????????????∈????,????≠0均是它的周期，而２π是它的最小正周期 ? （２）余弦函数????=cos????的值域是［－１，１］.当且仅当????=2????????????∈????时， 取得最大值１；而当且仅当????=2????????+????????∈????时，????=cos???? 取得最小值－１ ? （３）余弦函数????=cos????是偶函数，其图像关于y轴对称 ? （４）余弦函数????=cos????在区间2?????????????,2????????????∈????上是严格增函数，而在区2????????，2????????+????????∈????上是严格减函数． ? ????????????1????=cos2?????4cos????+1，????∈????；2????=cos????2，????∈?4????3,????2. ? 例1.求下列函数的最大值与最小值，并求出取得最大值和最小值时所有x的值： 解 （１）令????=cos????，则????=????2?4????+1=?????22?3,????∈?1,1. ? 当－１≤t≤１时，有－３≤t－２≤－１，从而 1≤?????22≤9,于是?2≤????2?2?3≤6. ? 这样，y的最大值是６，此时 ?????2=?3,????=?1 即cos????=?1,????=2????????+????????∈????; ? 而y的最小值是－２，此时 ?????2=?1,??=1 即cos????=1,????=2????????????∈????. ? （２）令????=????2，则????=cos???? ? 由????∈?4????3,????2，有?2????3≤????2≤????4,即????=?2????3,????4 ? 由余弦函数的性质可知，????=cos????在区间?2????3,0上是严格增函数，而在0,????4上是严格减函数． ? 又因为cos? ... ...
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