中小学教育资源及组卷应用平台 一、平面向量的数量积的基本运算及其几何意义 1）归纳总结： ① 用定义求数量积一定要注意两个向量的夹角，当时，要注意夹角有和两种情况； ② 数量积的坐标运算 ③ 平面向量的数量积的几何意义. 2）方法指导：平面向量的数量积运算有两种形式. ① 根据长度和夹角计算. ② 利用坐标计算.对于第一种形式注意向量的夹角取决于两个向量相同起点，第二种形式可以通过建立坐标系，确定相关向量坐标后计算. 【题干】1.已知向量，，则_____． 【题干】2.已知是等腰直角三角形，是斜边的中点，， 则 等于（ ） A. B. C. D. 【题干】3.设向量，，则向量在向量方向上的投影为_____． 【题干】4.已知点，，，则向量在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 【题干】5.已知正方形边长为，为中点，为中点， _____. 【题干】6.已知，满足，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【题干】7.如图，在等腰直角中，设，，为上靠近点的四等分点，过作的垂线，设为垂线上任一点，，则（ ） A. B. C. D. 【题干】8.设在中，，，是边上的高， 则的值等于（ ） A. B. C. D. 【题干】9.设四边形为平行四边形，..若点满足，，则（ ） A. B. C. D. 【题干】10.已知菱形的边长为，，则（ ） A. B. C. D. 【题干】11.在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ） A. B. C. D. 【题干】12.在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【题干】13.已知向量，满足：，，，则在上的投影长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【题干】14.若、、为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【题干】15.等边的边长为，则_____. 【题干】16.设是单位向量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【题干】17.如图，在中，，是边上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【题干】18.在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【题干】19.若向量，满足，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【题干】20.直角坐标平面上三点、、，若为线段的三等分点，则_____． 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台 平面向量数量积 一、两个向量的夹角 已知两个非零向量，，作，，则称作向量和向量的夹角，记作，并规定，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有．当时，我们说向量和向量互相垂直，记作． 二、向量的数量积（内积）定义 叫做向量和的数量积（或内积），记作，即 三、向量数量积的运算律 1）交换律：；． 2）分配律： 四、向量内积的性质 1）是单位向量，则； 2），且； 3），即； 4）； 5）． 向量数量积的运算律 1）交换律：；． 2）分配律： 五、向量数量积的坐标运算与度量公式 1）向量内积的坐标运算：建立正交基：，已知，，. 2）用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：. 3）向量的长度公式：已知，则，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根． 4）两点间的距离公式：如果，，则． 5）两个向量夹角余弦的坐标表达式： 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 版权声明 21世纪教育网www.21cnjy.com(以下简称“本网站”)系属深圳市二一教育科技有 限责任公司（以下简称“本公司”）旗下网站，为维护本公司合法权益，现依据相关法律法 规作出如下郑重声明： 一、本网站上所有原创内容，由本公司依据相关法律法规，安排专项经费，运营规划，组织 名校名师创作完成的全部原创作品，著作权归属本公司所有。 二、经由网站用户上传至本网站的试卷、教案、课件、学案等内容，由本公司独家享有信息 网络传播权，其作品仅代表作者本人观点，本网站不保证其内容 ... ...
