第十章 三角形的有关证明 专题6 构造等腰三角形的常用方法（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第十章 三角形的有关证明 专题6 构造等腰三角形的常用方法 类型一 利用平行线构造等腰三角形 模型展示： ①利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形.若∠1=∠2,AC∥OB,则△OAC为等腰三角形(如图 1); 图 1 ②作腰的平行线构造等腰三角形.若AB=AC，DE∥AC,则△BDE为等腰三角形(如图2); 图2 图3 ③作底边的平行线构造等腰三角形.若AB=AC，DE∥BC,则△ADE为等腰三角形(如图3). 1.如图,点E在△ABCAC边的延长线上,点D在AB 边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形. 类型二 角平分线+垂线→等腰三角形 模型展示： 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,CD⊥AD,故可以延长CD交 AB 于点E,则△ACE 是等腰三角形. 2.如图,在△ABC中,BE平分∠ABC交 AC 于点E,AD⊥BE 于点D.求证:∠BAD=∠CAD+∠C. 类型三 运用倍角关系构造等腰三角形 模型展示： 已知在△ABC中, ①如图1，作∠ABC的平分线BD，则可构造等腰△BDC; ②如图2,作∠BCE=2∠ACB,交 BA的延长线于点E，则可构造等腰△BCE； ③如图3,延长CB 至D,使 BD=AB,则可构造两个等腰三角形:△ABD,△ADC; ④如图4,作∠BCE=∠ACB,交 AB的延长线于点E，则可构造等腰△BCE. 图1 图2 图3 图4 3.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC 交BC 于点 D,且∠ABC=2∠C. 求证:AB+BD=AC. 类型四 截长补短法构造等腰三角形 4.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于点 D,且AB+BD=DC,求∠C 的度数. (用截长法与补短法两种方法解答) 5.如图,AB∥CD,BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,点 E在 AD上,求证:BC=AB+CD. 6.如图,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60°. 求证:BD+DC=AB. 参考答案 1.证明:如图,过点 D 作DM∥AC交BC于M. ∴∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E. 在△DMF 和△ECF中, ∴△DMF≌△ECF(ASA). ∴DM=CE.又∵BD=CE,∴BD=DM,∴∠B=∠DMB. ∵DM∥AC,∴∠DMB=∠ACB,∴∠B=∠ACB,∴△ABC是等腰三角形. 2.证明:如图,延长AD交BC于点F, ∵BE平分∠ABC,AD⊥BE,∴∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°, ∵BD=BD,∴△ABD≌△FBD(ASA).∴∠BAD=∠BFD. ∵∠BFD=∠CAD+∠C,∴∠BAD=∠CAD+∠C. 3.证明:方法 1:如图,作∠CDP=∠C,交AC于点P. ∴PD=PC,∠APD=∠CDP+∠C=2∠C=∠ABC. ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠PAD. 在△BAD和△PAD中, ∴△BAD≌△PAD(AAS). ∴AB=AP,BD=PD=PC.∴AB+BD=AP+PC=AC. 方法2:延长 AB至E,使 BE=BD,连接 DE,证△AED≌△ACD即可. 方法3:延长 CB至E,使 BE=AB,连接 AE,则∠E=∠C=∠EAB,易证∠EAD=∠EDA, ∴AC=EA=ED=EB+BD=AB+BD. 4.解:方法1(截长法):如图,在 CD上取点E,使 DE=BD,连接 AE,则CE=AB=AE. ∴∠ABC=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C. ∵∠BAC=120°,∴∠B+∠C=2∠C+∠C=60°.∴∠C=20°. 方法2(补短法):如图,延长CB 到 F,使 BF=AB. ∴∠F=∠FAB,DF=BF+BD=AB+BD=CD. ∵AD⊥BC,∴AF=AC.∴∠F=∠C.∴∠ABD=∠F+∠FAB=2∠C. ∵∠BAC=120°,∴∠ABD+∠C=3∠C=60°.∴∠C=20°. 5.证明:如图,在BC 上取点F,使 BF=AB,连接 EF. ∵BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线,∴∠ABE=∠FBE,∠FCE=∠DCE. ∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°. 在△ABE和△FBE中, ∴△ABE≌△FBE(SAS). ∴∠A=∠BFE,∴∠BFE+∠D=180°. ∵∠BFE+∠EFC=180°,∴∠EFC=∠D. 在△EFC和△EDC 中. ∴△EFC≌△EDC(AAS),∴CF=CD. ∵BC=BF+CF,∴BC=AB+CD. 6.证明:如图,延长BD 至点 E,使 BE=AB,连接CE,AE. ∵∠ABE=60°,BE=AB,∴△ABE为等边三角形,∴∠AEB=60°,AE=AB. 又∵∠ACD=60°,∴∠ACD=∠AEB. ∵AB=AC,AB=AE,∴AC=AE,∴∠ACE=∠AEC,∴∠DCE=∠DEC,∴DC=DE, ∴AB=BE=BD+DE=BD+DC,即 BD+DC=AB. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...