2.3一元二次方程根的判别式 教学目标 【知识与技能】 能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证. 【过程与方法】 经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 【情感态度】 积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲. 【教学重点】 能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证. 【教学难点】 从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系. 教学过程 一、情景导入，初步认知 同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程 ，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我. 【教学说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态. 二、思考探究，获取新知 1.问题：什么是求根公式？它有什么作用？ 2.观察求根公式 回答下列问题： （1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？ （2）当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？ （3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？ 3.综上所知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况是由b2-4ac来判断的. 【归纳结论】我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：Δ=b2-4ac ⑴当Δ=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即，. ⑵当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根. ⑶当Δ=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根. 4.不解方程判定下列方程的根的情况. (1)3x2+4x-3=0 (2)4x2=12x-9 (3)7y=5(y2+1) 解：(1)因为Δ=b2-4ac=42-4×3×（-3） =52>0 所以，原方程有两个不相等的实数根. （2）将原方程化为一般形式，得 4x2-12x+9=0 因为Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9 =0 所以，原方程有两个相等的实数根. （3）将原方程化为一般形式，得 5y2-7y+5=0 因为Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5 =-51<0 所以，原方程没有实数根. 【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣. 三、运用新知，深化理解 1.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实根，则p与q的关系是． 【答案】 p2-4q=0 2.若方程x2+px+q=0的两个根是-2和3，则p，q的值分别为. 【答案】 -1，-6 3.判断下列方程是否有解： （1）5x2-2=6x（2）3x2+2x+1=0 解析：演算或口算出b2－4ac，从而判断是否有根 解：（1）有（2）没有 4.不解方程，判定方程根的情况. （1）16x2+8x=-3（2）9x2+6x+1=0 （3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0 分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可． 解：（1）化为16x2+8x+3=0 这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0 所以，方程没有实数根． （2）a=9，b=6，c=1， b2-4ac=36-36=0， ∴方程有两个相等的实数根． （3）a=2，b=-9，c=8 b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0 ∴方程有两个不相等的实根． （4）a=1，b=-7，c=-18 b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0 ∴方程有两个不相等的实根． 5.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）． 分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax> -3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围． 解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根． ∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8< ... ...
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