2023-2024学年数学人教版九年级下册28.2.1 解直角三角形 分层练习 （含解析）

28.2.1　解直角三角形 【练基础】 必备知识1 已知两边解直角三角形 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,AC=3,则∠A的度数为 ( ) A.30°　　　 B.40°　　　 C. 45°　　　 D.60° 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=8,b=8,求这个三角形的其他元素. 必备知识2 已知一边及一锐角解直角三角形 3.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=10,∠B=36°,D为BC的中点,连接AD,则AD的长是 ( ) A.5sin 36° B.5cos 36° C.5tan 36° D.10tan 36° 4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,cos B=,M是AB的中点,则CM的长为 ( ) A.2　 B.3 C.4 D.6 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.求下列直角三角形中的未知量. (1)∠A=30°,b=2. (2)∠B=60°,c=12. 必备知识3 解直角三角形的综合应用 6.在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且sin A=,cos B=,AC=40,则△ABC的面积是 ( ) A.800　 B.800 C.400 D.400 7.如图,在△ABC中,过点B作BD⊥AB,交AC于点D,且AD∶CD=4∶3,∠ABC=150°. (1)BD∶BC=　 . (2)若AB=4,则△ABC的面积是　 . 8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,CD=5 cm ,求AB的长. 【练能力】 9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线DE交AC于点D,交AB于点E,连接BD. 若cos∠BDC=,则BC的长是 ( ) A.4 B.2 C.10 D.8 10.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=60°,∠B=∠D=90°,BC=1,CD=2,则对角线AC等于 ( ) A. B. C. D. 11.如图,在△ABC中,sin B=,tan C=,AC=5,则BC=　 . 12.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E. (1)若∠A=60°,求BC的长. (2)若sin A=,求AD的长. 【练素养】 13.如图,一座钢结构桥梁的框架是△ABC,水平横梁BC长18米,中柱AD高6米.其中D是BC的中点,且AD⊥BC. (1)求sin B的值. (2)现需要加装支架DE,EF,点E在AB上,BE=2AE,且EF⊥BC,垂足为F,求支架DE的长. 14.阅读下面材料: 小红遇到这样一个问题:如图1,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB=4,BC=,求AD的长. 小红发现,延长AB与DC相交于点E,通过构造Rt△ADE能够使问题得到解决(如图2). (1)AD的长为　　　　. (2)参考小红思考问题的方法,解决问题: 如图3,在四边形ABCD中,tan A=,∠B=∠C=135°,AB=9,CD=3,求BC和AD的长. 参考答案 练基础 1.A 2.【解析】在Rt△ABC中,∵∠C=90°,a=8,b=8, ∴tan B===, ∴∠B=60°,∴∠A=90°-∠B=30°, ∴c=2a=16. 故c=16,∠A=30°,∠B=60°. 3.C　4.B 5.【解析】(1)∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°. 在Rt△ABC中,cos A==, ∵b=2,∴c=4,∴a=c=2. 综上所述,a=2,c=4,∠B=60°. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°, ∴∠A=30°,∴sin A==. ∵c=12,∴a=6. ∵cos A==,c=12,∴b=6. 综上所述,a=6,b=6,∠A=30°. 6.D　7.(1)2∶7　(2)2 8.【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°. ∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD=30°. 在Rt△BCD中,CD=5 cm ,∠CBD=30°,tan∠CBD=, ∴BC==5 cm, ∴AB=2BC=10 cm. 练能力 9.B　10.C　11.10 12.【解析】(1)∵∠A=60°,∠ABE=90°, ∴∠E=30°. 在Rt△ABE中,∵AB=6,tan A=, ∴BE=AB·tan A=6×tan 60°=6. ∵∠CDE=90°,CD=4,sin E=, ∴CE===8,∴BC=BE-CE=6-8. (2)∵∠ABE=90°,AB=6,sin A==, ∴设BE=4x,则AE=5x,AB=3x, ∴3x=6,解得x=2.∴BE=8,AE=10, ∴tan E====,∴DE=, ∴AD=AE-DE=10-=. 练素养 13.【解析】(1)∵D是BC的中点, ∴BD=BC=9米. ∵AD⊥BC, ∴△ABD是直角三角形, ∴AB===3(米), ∴sin B===. (2)∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD, ∴△BEF∽△BAD, ∴===, ∴EF=AD=4(米),BF=BD=6(米), 则DF=BD-BF=9-6=3(米). 在Rt△DEF中,DE===5(米). 14.【解析】(1)6. 延长AB与DC相交于点E,如题图2. 在△ADE中,∵∠A=90°,∠D=60°,∴∠E=30°. ... ...