15.4 课时2 角的平分线的判定 【练基础】 必备知识 角的平分线的判定 1.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线. 如图:一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是 ( ) A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D.以上均不正确 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于点E,CD=DE,∠CBD=26°,则∠A的度数为 ( ) A.40° B.34° C.36° D.38° 3.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC等于 ( ) A.110° B.115° C.125° D.130° 4.如图,∠CDA=∠CBA=90°,且CD=CB,则点C在∠ 的平分线上,点A在∠ 的平分线上. 5.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF.求证:AD平分∠BAC. 6.如图,D,E,F分别是△ABC的三边上的点,CE=BF,且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证:AD平分∠BAC. 【练能力】 7.到三角形三边的距离相等的是 ( ) A.三条中线交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高的交点 D.三条中垂线的交点 8.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是 ( ) A.M B.N C.P D.Q 9.根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功地找到到三角形三边距离相等的点的是 ( ) A B C D 10.在锐角△ABC中,有一点P它到B,C两点的距离相等,并且点P到AB,BC的距离也相等.∠A=50°,∠ACP=25°,则∠BPC= °. 11.在平面直角坐标系中,点A(x,y)的坐标满足方程3x-y=4,当点A到两条坐标轴的距离相等时,点A的坐标为 . 12.如图,两条公路相交,在A,B两处是两个居民区,邮政局要在居民区旁边修建一个邮筒,为了使邮寄和取送方便,要使邮筒到两条路的距离相等,并且到两个居民区的距离也相等,请你找到一个这样的点. 13.如图,∠ABC=60°,点D在AC上,ED=6,DE⊥BC,DF⊥AB,且DE=DF. 求:(1)∠ABD的度数. (2)DB的长度. 14.如图,在△ABC中,BE⊥AC于点E,BC的垂直平分线分别交AB,BE于点D,G,垂足为H,CD⊥AB,CD交BE于点F. (1)求证:△BDF≌△CDA,并写出BF与AC的数量关系. (2)若DF=DG,求证:①BE平分∠ABC.②CE=BF. 【练素养】 15.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,过点O作EF∥AB交BC于点F,交AC于点E,过点O作OD⊥BC于点D. (1)求证:∠AOB=90°+∠C. (2)求证:AE+BF=EF. (3)若OD=a,CE+CF=2b,请用含a,b的代数式表示△CEF的面积,S△CEF= (直接写出结果). 参考答案 基础演练 1.A 2.D 3.A 4.BAD BCD 5.【解析】证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠E=∠DFC=90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), ∴DE=DF,∴AD平分∠BAC. 6.【解析】 证明:如图,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.∵△DCE的面积与△DBF的面积相等, ∴=. ∵CE=BF,∴DM=DN, ∴AD平分∠BAC. 能力生成 7.B 8.A 9.B 10.110 11.(2,2)或(1,-1) 12.【解析】点P到A,B两点的距离相等,根据性质:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.需用尺规作出线段AB的垂直平分线;点P到两相交直线CD,EF的距离相等,根据性质:角平分线上的点到角两边的距离相等.需用尺规作出∠COF的平分线,P为∠COF的平分线与线段AB的垂直平分线的交点.如图所示. 13.【解析】(1)∵DE⊥BC,DF⊥AB, 且DE=DF, ∴DB平分∠ABC, 即∠ABD=∠ABC=×60°=30°. (2)在直角三角形BED中, ∵∠DBE=∠ABC=×60°=30°, 又∵DE=6, ∴BD=2DE=12. 14.【解析】证明:(1)∵DH垂直平分BC, ∴BD=CD. ∵BE⊥AC,BA⊥CD, ∴∠ADC=∠BDF=90°. ∵∠A+∠DBF=90°,∠DBF+∠DFB=90°, ∴∠A=∠DFB. 在△ADC和△FDB中, ∴△ADC≌△FDB(AAS), ∴BF=AC. (2)①∵DF=DG, ∴∠DGF=∠DFG. ∵∠BGH=∠ ... ...
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