专题05 平面向量的应用（五大题型）（题型专练）（原卷版+解析版）

专题05 平面向量的应用（五大题型） 【题型1 用向量解决平面几何中的垂直问题】 【题型2 利用向量求线段间的长度关系】 【题型3用向量解决夹角问题】 【题型4 用向量解决物理中的相关问题】 【题型5 向量与几何最值】 【题型1 用向量解决平面几何中的垂直问题】 1．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由已知平方可得，得出可判断. 【详解】，， 则， ，，则△ABC为直角三角形. 故选：B. 2．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（ ） A． B． C．13 D．26 【答案】C 【分析】根据判断AC与BD关系，根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半即可求解. 【详解】∵，∴AC⊥BD， 所以四边形ABCD面积为：. 故选：C. 3．已知点，，，，则以下四个结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据点，，，，得到的坐标，然后逐项判断. 【详解】因为点，，，， 所以， 因为 ，所以，故正确； 因为 ，所以，故正确； 因为，所以，故错误； 因为，所以不成立，故错误. 故选：AB 4．如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M. (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可； （2）用基底表示两个向量，利用数量积的运算证明即可. 【详解】（1）， ； （2），证明如下： 由（1）知，， 所以， 设，则， 所以，所以，得证. 5．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC. 【答案】证明见解析 【分析】设=，=，=，=，=，根据向量加法得=+，=+， 计算2﹣2结合条件可得·=·，即可证明. 【详解】设=，=，=，=，=， 则=+，=+， 所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2， 由条件知：2=2﹣2+2， 所以·=·，即·(-)=0， 即， 所以AD⊥BC. 6．如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 【答案】证明见解析 【分析】利用平面向量加法、数乘的几何意义有·＝·，根据数量积的运算律，线段的位置、数量关系可得·＝0，即可证结论. 【详解】∵·＝·＝2－2，而， ∴·＝0， ∴⊥，即DE⊥AF. 7．已知点A（0，1），B（6，4），C（4，8），，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】见详解 【分析】根据题意，结合各点坐标，只要证明和，即可证明四边形ABCD是矩形． 【详解】证明：根据题意，可知，，. ∵，∴与平行且相等，∴ 四边形ABCD为平行四边形， 又∵，∴，∴四边形ABCD是矩形. 8．已知平面四边形中，，向量的夹角为. (1)求证：； (2)点是线段中点，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）画出示意图，根据边的关系可得，因而． （2）以B为原点建立平面直角坐标系，写出各个点坐标，进而根据平面向量数量积的坐标运算即可求出结果． 【详解】（1）根据题意，画出示意图如下图所示 由题意可知， ， 所以三角形ABD为等边三角形， 则，又 ， 所以， 即为直角三角形，且 ， 所以， 所以 ； （2）根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，因为点是线段中点，所以， 则 ， 所以， 9．用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】先得到，，从而利用数量积公式求出，得到垂直关系. 【详解】由题意得，， 故， 因为，所以， 故. 【题型2 利用向量求线段间的长度关系】 10．在中，，点满足，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点O，由已知可确定，利用向量的运算和长度关系将转化为，由此构造方程求得. 【详解】取中点O，连接， 11．平行四边形中，，E是的中点，F是的 ... ...