第07讲 空间直线﹑平面的垂直（二）（知识解读 题型归纳 随堂测试）学案 (原卷版+解析版)

第07讲 空间直线﹑平面的垂直（二） 知识点1：二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 知识点 2:平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 l⊥α 【题型 1 求二面角】 【典例1】如图，已知平面与底面所成角为，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的性质可得，再利用勾股定理可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）先说明为二面角的平面角，根据与底面所成角的正切值求出，再解即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又由已知得，， 则，即， 又平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为平面与底面所成角为， 所以为与底面所成角，由，得， 在中，，则， 所以二面角的大小为． 【变式1-1】如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为E，过点A作，说明为二面角的平面角；证明平面，从而证明平面，解直角三角形，即可求得答案. 【详解】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F， 因为均为等边三角形，故， 故为二面角的平面角； 又平面，故平面， 而平面，故， 又，平面， 故平面，则点A到平面的距离为， 又为等边三角形，边长为2，故， 故在中，，则，即， 故二面角的大小为， 故选：A 【变式1-2】将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，说明为二面角的平面角，通过几何关系计算求解. 【详解】取中点，连接，交平面于点， 由正棱锥性质及对称性易知为的中心，且， 故为二面角的平面角， 设正三棱锥侧棱长为2，易得， 则， 在中由余弦定理得. 故选：D. 【变式1-3】如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点． (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据E，F分别是棱、的中点得到，从而可证直线平面； （2）利用线面角与二面角的定义，结合线面垂直的判定定理求得所需线面角与二面角，从而得解. 【详解】（1）∵E，F分别是棱、的中点，∴在中，， ∵平面，平面，∴直线平面； （2）∵平面平面，平面平面， 平面，，∴平面， ∴是直线与平面所成角， ∵直线与平面所成角为， ∴，∴，∵平面，， 平面， ∴，，∵，，，平面， ∴平面，∴是直线与平面所成角， ∵直线与平面所成角为，∴， ∴，，设， 则，，，， ∴为等腰直角三角形，， ∵，，∴是二面角的平面角， ∴二面角的大小为． 【题型 2由二面角大小求线段长度或距离】 【典例2】如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且． (1)求证：； (2)若平面交于点，求的值； (3)若二面角的大小为，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、性质推理即得. （2）利用平面的基本事实证得三点共线，作于，利用平行关系推理计算即得. （3） ... ...