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课件网) 微专题 全等三角形的六种基本模型 模型一 平移型 模型剖析 如图1，把 沿直线 平移，所得 与 称为平移型 全等三角形.解题时，常利用平行线的性质，获得对应角相等；利用在 平移方向上相等的线段加（减）公共线段的方法，获得对应边相等. 图1 模型应用 图2 1.（2022·淮安）如图2，已知点 , , , 在一条直 线上，且 ， ， ．求证： ． 证明： ， ． 在 和 中， ， ． 图3 2.如图3，已知点 ， ， ， 在同一条直线上， ， ， .求证： . 证明： ， ，即AB=CD. ， . 在 和 中， ， ， ， . 模型二 对称型 模型剖析 如图4、图5，将所给图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能 够完全重合，这两个三角形称为对称型全等三角形，其中重合的顶点就 是全等三角形的对应顶点.这类全等三角形通常有两种情况： 图4 图5 （1）有公共边（如图4）；（2）有公共顶点（如图5）.解题时，常利用公共角、对顶角、垂直等条件，获得对应角相等；利用公共边、中点、线段的和差关系等，获得对应边相等. （1）有公共边： 图4 （2）有公共顶点： 图5 模型应用 图6 3.（2022·兰州）小军制作的燕子风筝骨架图如图6 所示， ， ， ， ，求 的度数． 解： ， ，即 . 在 和 中， ． 模型三 旋转型 图7 模型剖析 如图7，将三角形绕着公共顶 点旋转一定角度后，两个三角形能 够完全重合，这两个三角形称为旋 转型全等三角形.解题时，常利用对 顶角相等、角的和差关系等隐含条 件. 模型应用 图8 4.（2023·宜宾）如图8，已知 ， ， .求证： ． 证明： ， ， 即 ， . 又 ， 图9 5.（2023·陕西）如图9，在 中， ， ．过点 作 ，垂足为点 ，延长 至点 ，使 .在边 上截取 ，连 接 ．求证： . 图9 证明：在 中， ， ， ． , ． . ． 在 和 中， ， ． 模型四 “一线三等角”型 模型剖析 如图10，三个等角顶点在同一直线上 ，这两个三 角形称为“一线三等角”型全等三角形（等角可以是锐角、直角、钝角.若 等角为直角，则称为“一线三垂直”型）.解题时，常利用三角形的内角和 定理及外角性质、“等角的余角相等”的性质将角进行转化. 图10 【拓展】“一线三垂直”型 一线：如图11，经过直角顶点的直线 ； 三垂直：直角三角形的两边互相垂直 ，过直角三角形的 两边上一点分别向直线作垂线 ，利用“同角的余角 相等”找等角 . 图11 模型应用 图12 6.（2022·铜仁）如图12，点 在 上， ， ， ， ．求 证： ． 图12 证明： ， ， ， . ， . .在 和 中， . 图13 7.（2023·聊城）如图13，在四边形 中，点 是边 上一点，且 ， . （1）求证： . 证明： ， ， . 在 和 中， . 图13 （2）若 ， 时，求 的面积． 解： ， ， 为等边三角形. . 过点 作 于点 ， . ． 模型五 半角模型 模型剖析 当一个角包含着这个角的半角时，常将半角两边的三角形通过旋转 到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成 的三角形全等，从而得到线段或角之间的数量关系.半角模型常有如下 三种类型. 1.等边三角形含半角（如图14， ， ） 图14 结论： ， . 2.等腰直角三角形含半角（如图15， ， ） 图15 结论： ， . 3.正方形含半角（如图16） 图16 结论： ， . 模型应用 图17 8.如图17， 是边长为1的等边三角形， ， ，点 ， 分别在 ， 上，且 .求 的周长. 提示：如图16，延长 至点 ，使 ，连接 是等边三角形， . ， ， . . .在 和 中， ， ， ， ， 图16 图16 ， ， . . .在 和 中， ， ， ， 的周长 . 【答案】2 模型六 对角互补模型 模型剖析 对角互补模型，即四边形构成的几何图形中，相对的角互补.解决 此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：（1）过顶点作两垂线；（2） 旋转法. 对角互补模型常有如下 ... ...
