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课件网) 微专题 辅助圆最值问题 类型一 点圆最值 模型剖析 平面内一定点 和 上动点 的连线中，当连线过圆心 时，线段 有最大值和最小值.分以下情况讨论：（设 ， 的半径为 ） （1）点 在 外时， ，如图1、图2. 当 ， ， 三点在同一直线上时，线段 有最值： 的最大值为 ， 的最小值为 . （2）当点 在 上时， ，如图3. 图3 当 ， ， 三点在同一直线上时，线段 有最值： 的最大 值为 ， 的最小值为 （即点 与点 重合）. （3）当点 在 内时， ，如图4、图5. 当 ， ， 三点在同一直线上时，线段 有最值： 的最大 值为 ， 的最小值为 . 综上可知，求平面内一定点到圆上一点的距离的最值，只要求出该 定点到圆心的距离 ，则最大值为 ，最小值为 . 模型应用 图6 1.（2023·台州）如图6， 的圆心 与正方形的中心重 合，已知 的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意 一点到正方形边上任意一点距离的最小值为( ) . D A. B.2 C. D. 小锦囊 当圆的半径经过正方形的顶点时，圆上的点到正方形边上的点的距离取得最小值. 图7 2.如图7，在 中， ， ， ，点 是 的三等分点，半圆 与 相切， ， 分别是 与半圆弧上的动 点，则 的最小值与最大值之和是( ) . A.5 B.6 C.7 D.8 小锦囊 作 ，垂足为点 ，交半圆 于点 ，此时垂线段 最 短，当点 与点 重合，点 与点 重合时， 的值最小，且 ；设半圆 与线段 的交点为 ，当点 与点 重合，点 与点 重合时， 经过圆心，此时 的值最大. 图47 提示：如图47，设半圆 与 相切于点 ，连接 .作 ，交 于点 ，垂足为点 ，此 时垂线段 的长最短， 的最小值 .在 中， , ,所以 .又因为点 是 的三等分点， 所以 .因为 ， 所 以 ，则 .故 .所以 .因为 与 相切于点 ，所以 .因此 ，则 . 故 .所以 .故 .因此 的 最小值 .如图47， 当点 在 边上的点 处，点 与点 重合时， 经过圆心，经过圆心的弦最长.因此 的最大值 .所以 长的最大值与最小值的和是 . 图47 【答案】B 类型二 线圆最值 模型剖析 与定直线 相离，点 是 上的一个动点，设圆心 到直线 的距离为 ， 的半径为 . （1）圆上点 到定直线 的最小距离：（如图8） 图8 图9 ，即 ， 当 ， ， 三点在同一直线上时，取等号（如图9）. （2）圆上点 到定直线 的最大距离：（如图10） 图10 图11 ， 当点 与点 重合时，取等号（如图11）. 综上可知，点 到直线 的最小距离为 ，点 到直线 的最大 距离为 . 模型应用 3.（2023·宿迁）在同一平面内，已知 的半径为2，圆心 到直线 的 距离为3，点 为圆上的一个动点，则点 到直线 的最大距离是 ( ) . B A.2 B.5 C.6 D.8 类型三 隐形圆最值 图12 （1）动点定长模型 模型剖析 如图12，若 为动点， ，则 ， ， 三点共圆，其中点 为圆心. 模型应用 4.已知等腰直角三角形 的腰长为4，点 在斜边 上，点 为该平 面内一动点，且满足 ，则 的最小值为( ) . A.2 B. C. D. 图48 提示：如图48，因为等腰直角三角形 的腰长为4，所 以斜边长 .因为点 为该平面内一动点，且满足 ，所以点 在以点 为圆心，2为半径的圆上.当点 在斜边 的高 上时， 的值最小.因为 是等 【答案】B 腰直角三角形，所以当 时， ，则 . 因为 ，所以 . 图13 （2）直角圆周角模型 模型剖析 如图13，若固定线段 所对动角 恒为 ， 则 ， ， 三点共圆，其中 为圆的直径. 模型应用 图14 5.如图14，在矩形 中， ， ， 是矩形内 部的一个动点，且 ，则 的最小值为_____. 图49 提示：如图49，因为 ，所以点 在以 的中 点 为圆心， 长为直径的一段弧（弧在矩形内部） 上运动.如图49，连接 交 于点 .当点 位于点 位置时，线段 的长取得最小值.在矩形 中， ，所以 .又 ，所以 .所以 . 图15 （3）定弦定角模型 模型剖析 如图15， ... ...
