06 复数（考点串讲）（含解析）

串讲 复数 知识网络 二、常考题型 三、知识梳理 1.复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． 2.复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 3.复数相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． 4.共轭复数 a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． 5.复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)． 6.复数的几何意义 （1）复数z＝a＋b与复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)一一对应． （2）复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内向量一一对应． 7.复数的运算 （1）复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． （2）复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 8.复数的常用结论 （1）(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. （2）－b＋ai＝i(a＋bi)． （3）. 四、常考题型探究 考点一 复数的概念 例1. 已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用复数相等的条件得到方程组，求出答案. 【详解】，故， 所以，解得. 故选：B 例2. 已知复数z满足，则的虚部是（ ） A． B．1 C． D．i 【答案】B 【分析】 先由等式，反解出，再利用复数的除法运算法则，求出复数z即可. 【详解】 由已知，得， 所以z的虚部为1. 故选：B. 【变式探究】1 若，则z的虚部为（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】 先将等式变形为，利用复数的除法运算求解即可. 【详解】 依题意，得， ， 则复数z的虚部为：， 故选：C． 【变式探究】2 以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 化简复数，再利用复数的概念求解即得. 【详解】的虚部为2，的实部为， 所以所求复数的实部为2，虚部为，复数为． 故选：A 考点二 复数的几何意义 例3. 复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数确定点的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围. 【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为， 根据第二象限坐标的特点可得，从而可得. 故选：D. 例4. 已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】 根据复数的运算、共轭复数的定义以及复数的几何意义判定选项即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限. 故选:C. 【变式探究】1 复数，在复平面上对应的点分别为，，则 ； 【答案】 【分析】结合复数的几何意义和四则运算，即可求解. 【详解】因为复数，在复平面上对应的点分别为，， 则， 则 故答案为： 【变式探究】2 已知复数满足，则在复平面的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算求得复数，再由复数的几何意义即可求得结果. 【详解】将整理成， 所以， 由复数的几何意义可得在复平面的对应点的坐标为. 故答案为： 考点三 复数的模 例5. 为虚数单位，若，则（ ） A．5 B．7 C．9 D．25 【答案】A 【分析】 化简复数，再进行求模计算即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 例6.若，则（ ） A．i B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B． 【变式探究】1 已知复数满足，则（ ） A． B． C． D．1 【答 ... ...