中小学教育资源及组卷应用平台 【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破） 专题05 几何最值问题-将军饮马模型 古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦，有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：将军从A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法。问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便做了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。 在解决将军饮马模型：利用轴对称变换化归到两点之间，线段最短；或垂线段最短等。 1）将军饮马模型（两条线段和最短）：在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 2）将军饮马模型（周长最小值）：在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 1）已知点A、B位于直线m,n 内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得四边形ADEB周长最短。 2）已知点A位于直线m,n 的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短。 3）将军饮马模型（两条线段差最大值）：在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大； （1）点A、B在直线m同侧： （2）点A、B在直线m异侧： 考向1.将军饮马模型：两条线段和最短 例1．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ． 例2．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 例3．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A．3 B．5 C． D． 例4．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ） A． B．3 C． D． 例5．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； 考向2.将军饮马模型：周长的最小值 例1．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】 (1)如图1，，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点，，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，，后的形状是等腰直角三角形．理由如下： ∵点P关于边、的对称点分别为，， ∴，，，， ∴即周长的最小值为 ∵，∴∴是等腰直角三角形． 学以致用：若，在内部有一点P，分别作点P关于边、的对称点，，顺次连接O，，，则的形状是_____三角形． (2)【问题探究】如图2，在中，，，点D是的中点，若，请用含有h的代数式表示的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形内有一点P，点P到顶点B的距离为10，，点M、N分别是、边上的动点，顺次连接P、M、N，使在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 例2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ． 例3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 例4．（20 ... ...
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