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课件网) 18.2 勾股定理的逆定理 (1) 教学目标： 1.理解勾股定理的逆定理，经历“观察－测量－ 猜想－论证”的 定理探究的过程，体会“构造法” 证明数学命题的基本思想； 2.了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的 逆命题不一定为真命题． 教学重点： 探索并证明勾股定理的逆定理. (1)画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm)，它们是直角三角形吗？ ① 2.5，6，6.5； ② 4，7.5，8.5． (2)想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想． 探究新知 题设: 结论： 形 数 勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2． a2＋b2=c2． 如果直角三角形的两条直角 边长分别为a，b，斜边长为c， 学习新知 这个三角形是直角三角形. 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2＋b2=c2， 题设: 结论： a2＋b2=c2． 如果直角三角形的两条直角 边长分别为a，b，斜边长为c， 题设: 结论： 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c， 满足a2＋b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． 三角形全等 ∠C是直角 △ABC是直角三角形 A B C a b c a b A′ B′ C′ 在△ABC和△A′B′C′ 中， 画一个Rt△A′B′C′ ，使∠C′ =90°，B′C′ =a，A′C′=b ． 根据勾股定理，得 A′B′2 =B′C′2＋A′C′2 =a2＋b2 ∵a2＋b2=c2， ∴A′B′2 = c2. BC=a=B′C′ AC=b=A′C′ AB=c=A′B′ ∴△ABC≌△A′B′C′ . ∴∠C=∠C′ = 90°. 即△ABC是直角三角形. A B C a b c A′ B′ C′ b a ∴A′B′ = c. 作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形． 定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2＋b2= c2，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： (1) a=15，b=17，c=8； (2) a=13，b=15，c=14. 解： ∵ a2=152=225 ， c2=82=64 ， b2=172=289 ， ∴ a2 ＋c2 = 225＋64 =289 =b2， ∴ 这个三角形是直角三角形． (1) 例题解析 例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： (1) a=15，b=17，c=8； (2) a=13，b=15，c=14. 解： ∵ a2=132=169 ， c2=142=196 ， b2=152=225 ， ∴ a2 ＋c2 = 169＋196 =365 ≠ b2， ∴ 这个三角形不是直角三角形． (2) 1.判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形： (1) a=2，b=3，c=4； (2) a=9，b=7，c=12； (3) a=25，b=20，c=15. ( ) ( ) ( ) 练习巩固 × × √ 3. 在△ABC中，三边长a，b，c 满足 (a＋c)(a－c) =b2，则△ABC是什么三角形？ 解： △ABC是直角三角形． ∵ (a＋c)(a－c) =a2－c2 (a＋c)(a－c) =b2， ∴ b2 =a2－c2 ∴ a2 =b2＋c2 ∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形． B C A a b c 例 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积． ∴四边形ABCD的面积为 ×3×4 ×5×12 1 2 1 2 =36 ＋ =132=AD2， ∴△ACD是直角三角形． A B C D 解：∵AB=3，BC=4，∠B=90°， ∴AC=5． 又∵CD=12，AD=13， ∴AC2＋CD2=52＋122=169， 勾股定理及其逆定理的应用 如图，AC⊥BC ，垂足为C，AC=4，BC=3，AD=12，BD=13，则四边形ACBD的面积为 . D C B A 解： 连接AB. ∵ AC⊥BC ， ∴∠ACB=90°. ∴AB2=AC2＋BC2. ∵ AC=4，BC=3， ∴AB=5. ∵ AD=12，BD=13， ∴BD2=AB2＋AD2. ∴∠DAB=90°. ∴S四边形ACBD= S△ABD － S△ABC = ×5×12 1 2 － ×3×4 1 2 =24. 24 学以致用 (1)勾股定理的 ... ...
