第2章章末小结 【知识导图】 【题型探究】 题型1 三角函数求值问题 例1 (1)(2023年新高考全国Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =( ). A. B. C. D. (2)(2023年新高考全国Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=( ). A. B. C.- D.- (3)(2022年浙江卷)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α= ,cos 2β= . 答案 (1)D (2)B (3) 解析 (1)由cos α==1-2sin2,得sin2===2,又α为锐角,所以sin >0,所以sin =.故选D. (2)依题意得 所以sin αcos β=, 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=, 所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×2=.故选B. (3)(法一:利用辅助角公式处理)∵α+β=,∴sin β=cos α,即3sin α-cos α=,即sin α-cos α=, 令sin θ=,则cos θ=,则sin(α-θ)=, ∴α-θ=+2kπ,k∈Z,即α=θ++2kπ, ∴sin α=sinθ++2kπ=cos θ=, 则cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=. (法二:直接用同角三角函数关系式解方程)∵α+β=,∴sin β=cos α,即3sin α-cos α=. 又sin2α+cos2α=1,将cos α=3sin α-代入得10sin2α-6sin α+9=0,解得sin α=, ∴cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=. 小结 解决三角函数求值问题的基本方法:将待求式用已知三角函数表示,将已知条件转化,推出可用的结论.其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧.解题时,首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异,有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换,找出它们之间的联系,最后求出待求式的值. 题型2 三角函数的化简与证明 例2 化简:-. 解析 原式=+ =+ =+ =+ ==. 小结 三角函数式的化简与证明,主要从三个方面寻求思路:(1)观察函数的特点,已知和所求中包含什么函数,它们可以怎样联系;(2)观察角的特点,它们之间可通过何种形式联系起来;(3)观察结构的特点,它们之间经过怎样的变形可达到统一. 题型3 三角恒等变换的应用 例3 如图所示,已知DOE是半径为,中心角为的扇形,P为弧上一动点,四边形PQMN是矩形,∠POD=x0
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