第1章章末小结 【知识导图】 【题型探究】 题型1 向量的线性运算 例1 (1)(2022年新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=( ). A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n (2) 如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别满足=2,=2,EF与AC交于点G,设=λ,则λ= . 答案 (1)B (2) 解析 (1)=+=+3=+3(+)=-2+3=-2m+3n.故选B. (2)设H是BC上除点E外的另一个三等分点,连接FH,连接BD交AC于点O,则BD∥FH.在△CFH中,G是边CH,FH中线的交点,故G是△CFH的重心,结合==可知=.由于O是AC的中点,故=,所以λ==. 小结 向量线性运算求解策略 (1)向量是一个有“形”的几何量,因此在进行向量线性运算时,一定要结合图形,这是研究平面向量的重要方法与技巧. (2)字符表示下的线性运算的常用技巧:首尾相接用加法的三角形法则,如+=;共起点两个向量作差用减法的几何意义,如-=. 题型2 平面向量数量积的运算 例2 (1)(2023年新高考全国Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则( ). A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 (2)(2023年全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·=( ). A. B.3 C.2 D.5 答案 (1)D (2)B 解析 (1)因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D. (2)以A为坐标原点,,的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则E(1,0),C(2,2),D(0,2),则=(1,2),=(-1,2),所以·=-1+4=3,故选B. 小结 向量数量积的求解策略 (1)利用数量积的定义、运算律求解. (2)借助零向量,即围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量,再进行向量的移项以及平方等变形,求解数量积. (3)借助平行向量与垂直向量,即将向量拆分,把待求的数量积转化为有垂直关系或平行关系的向量的数量积,借助若a⊥b,则a·b=0或若a∥b,则a·b=±|a||b|解决问题. (4)建立坐标系,利用坐标运算求解数量积. 题型3 平面向量中的最值问题 例3 如图,正△ABC的边长为2,D是线段BC上一点,过点C作直线AD的垂线,交线段AD的延长线于点E,则|AD|·|DE|的最大值为 . 方法指导 设=λ(0≤λ≤1),根据向量的线性运算及数量积定义,即可求得|AD|·|DE|的最大值. 答案 解析 设=λ(0≤λ≤1), 则=(1-λ)=(1-λ)(-). 因为AE⊥CE,所以·=0. 由向量的数量积定义可知, |AD|·|DE|==·=·(+)=·+·=·, ·=||||cos =2×2×=2, ||2=||2=2×2=4. 根据向量线性运算可知, =+=+λ=+λ(-) =(1-λ)+λ. 故|AD|·|DE|=· =[(1-λ)+λ]·[(1-λ)(-)] =(1-λ)2·-(1-λ)2+λ(1-λ)-λ(1-λ)· =2(1-λ)2-4(1-λ)2+4λ(1-λ)-2λ(1-λ) =-4λ2+6λ-2=-4+(0≤λ≤1), 所以当λ=时,|AD|·|DE|取得最大值,最大值为. 小结 求解向量数量积最值问题的两种思路:(1)直接利用数量积公式得出代数式,依据代数式求最值;(2)建立平面直角坐标系,通过坐标运算得出函数式,转化为求函数的最值. 题型4 向量的模、夹角的问题 例4 (1)(2022年新高考全国Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若
=,则t=( ). A.-6 B.-5 C.5 D.6 (2)(2023年新高考全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|= . 答案 (1)C (2) 解析 (1)由已知得c=(3+t,4), cos=cos,故=,解得t=5.故选C. (2)由|a-b|=,得a2-2a·b+b2=3,即2a·b=a2+b2-3, ① 由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理得3a2-6a·b=0, 结合①,得3a2-3(a2+b2-3)=0,整理得b2=3,所以|b|=. 小结 解决向量模的问题的常用策略 (1)应用公式:|a|=(其中a=(x,y)). (2)应用三角形法则或平行四边形 ... ... 
