第3章章末小结 【知识导图】 【题型探究】 题型1 复数的基本概念 例1 设z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(m∈R),求当m取何值时, (1)z是纯虚数; (2)z是实数. 【解析】 (1)若z为纯虚数,则 即解得 所以当m=3时,z是纯虚数. (2)若z是实数,则 解得 所以当m=-1或m=-2时,z是实数. 【方法总结】 复数相关概念的应用技巧 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提. (2)两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据. 题型2 复数的四则运算 例2 (1)(2023年新高考全国Ⅰ卷)已知z=,则z-=( ). A.-i B.i C.0 D.1 (2)(2023年全国甲卷)若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=( ). A.-2 B.-1 C.1 D.2 (3)(2022年新高考全国Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+=( ). A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】 (1)A (2)C (3)D 【解析】 (1)∵z===-i,∴=i,∴z-=-i-i=-i.故选A. (2)∵(a+i)(1-ai)=a+i-a2i-ai2=2a+(1-a2)i=2,∴2a=2且1-a2=0,解得a=1.故选C. (3)∵i(1-z)=1,∴z=1-=1+i,∴=1-i,∴z+=2.故选D. 【方法总结】 利用复数的四则运算求复数的一般思路 (1)复数的加、减、乘法运算:满足多项式的加、减、乘法法则,利用法则后将实部与虚部分别写出即可,注意多项式乘法公式的运算. (2)复数的除法运算:主要是利用分子、分母同时乘以分母的共轭复数进行运算化简. 题型3 共轭复数,复数的模 例3 (1)(2022年全国甲卷)若z=1+i,则|iz+3|=( ). A.4 B.4 C.2 D.2 (2)(2022年北京卷)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=( ). A.1 B.5 C.7 D.25 【答案】 (1)D (2)B 【解析】 (1)因为z=1+i,所以iz+3=i(1+i)+3(1-i)=2-2i,所以|iz+3|==2.故选D. (2)由题意有z===-4-3i,故|z|==5.故选B. 【方法总结】 化复为实,利用复数模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件,是一种复数问题实数化的思想.根据复数模的意义,可以简化计算. 题型4 复数的几何意义及其应用 例4 已知z是复数,z+2i,均为实数,且(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围. 【解析】 设z=x+yi(x,y∈R), 则z+2i=x+(y+2)i为实数,∴y=-2. 又==(x-2i)(2+i) =(2x+2)+(x-4)i为实数, ∴x=4,∴z=4-2i. 又∵(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i在复平面内对应的点在第一象限, ∴解得2
