中小学教育资源及组卷应用平台 2024年数学中考三轮冲刺必考解答题20个专题专练（全国通用） 专题16 圆的证明与求值问题 1. （2023福建）如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且． （1）求证：； （2）求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】【分析】（1）由切线的性质可得，由圆周角定理可得，即，再根据平行线的性质可得，则根据角的和差可得，最后根据平行线的判定定理即可解答； （2）由圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合得到即可证明结论． 【详解】（1）证明是的切线， ，即． 是的直径， ． ∴． ， ， ，即， ． （2）与都是所对的圆周角， ． ， ， ． 由（1）知， ， 平分． 【点睛】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质、圆周角定理、切线的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 2.（2023甘肃兰州） 如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接． （1）求证：是的切线； （2）判断的形状，并说明理由； （3）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析 （3） 【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据已知得出，根据得出，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得，即可得证； （2）根据题意得出，则，证明，得出，等量代换得出，即可得出结论； （3）根据，，设，则，等边对等角得出，则． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 即，又是的直径， ∴是的切线； （2）∵，是的直径， ∴，， ∴， ∵，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴是等腰三角形， （3）∵，， 设，则， ∴， ∴． 【点睛】考查切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3.（2023贵州省） 如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，． （1）写出图中一个度数为的角：_____，图中与全等的三角形是_____； （2）求证：； （3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）、、、；； （2）证明见详解； （3）四边形是菱形； 【解析】【分析】（1）根据外接圆得到是的角平分线，即可得到的角，根据垂径定理得到，即可得到答案； （2）根据（1）得到，根据垂径定理得到，即可得到证明； （3）连接，，结合得到 ，是等边三角形，从而得到，即可得到证明； 【详解】（1）∵是等边三角形的外接圆， ∴是的角平分线，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的角有：、、、， ∵是的角平分线， ∴，， 在与中， ∵， ∴， 故答案为：、、、，； （2）证明：∵，， ∴； （3）连接，， ∵，， ∴ ，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系． 4. （2023湖北宜昌）如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，． （1）填空：的度数是_____，的长为_____； （2）求的面积； （3）如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值． 【答案】（1），5； （2） （3） 【解析】【分析】（1）根据切线性质和勾股定理分别求解即可； （2）由面积法求出，再利用勾股定理求，则的面积可求； （3）先证明，得到，利用，分别得到，进而计算，，在分别求出则问题可解； 【详解】（1）∵是的直径，是的切线， ∴的度数是； ∵， ∴； 故答案为：，5； （2）如图， ∵是的直径， ∴， ， ∴由面积法， ∴ ， ； （3）方法一：如图， 由 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设 是等腰直角三角形， ， 等腰直角三角形 ， ∴， ∴， ， ， ， ． 方法二：如图 由 设 ， 是等 ... ...
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