专题06 一元二次方程判别式与韦达定理运用问题（原卷版＋解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024年数学中考三轮冲刺必考解答题20个专题专练（全国通用） 专题06 一元二次方程判别式与韦达定理运用问题 1．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 2．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于1，求k的取值范围。 3. （2023四川南充）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 4. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 5. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 6. 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 7. （2023湖北天门）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 8.已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 9.已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 10.已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根． （1）若x1＝1，求x2及m的值； （2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台 2024年数学中考三轮冲刺必考解答题20个专题专练（全国通用） 专题06 一元二次方程判别式与韦达定理运用问题 1．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）m＞﹣．（2）x1=0，x2=﹣3． 【解析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； （2）结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论． 【解答】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴△=（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）=4m+5＞0， 解得：m＞﹣． （2）m=1，此时原方程为x2+3x=0， 即x（x+3）=0， 解得：x1=0，x2=﹣3． 【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据根的个数结合根的判别式得出关于m的一元一次不等式；（2）选取m的值．本题属于基础题，难度不大 ... ...