专题07 数字式子图形等规律探索问题（原卷版＋解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024年数学中考三轮冲刺必考解答题20个专题专练（全国通用） 专题07 数字式子图形等规律探索问题 1. 探求规律性问题 观察下列图形： 它们是按一定规律排列的． (1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？ (2)摆成第n个图案需要几个五角星？ (3)摆成第2015个图案需要几个五角星？ 【答案】见解析。 【解析】此题首先要结合图形具体数出几个值．注意由特殊到一般的分析方法．此题的规律为摆成第n个图案需要3n枚五角星．通过观察已知图形可得每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答． (1)根据题意得∵第1个图中，五角星有3个(3×1)；第2个图中，有五角星6个(3×2)；第3个图中，有五角星9个(3×3)；第4个图中，有五角星12个(3×4)；∴第n个图中有五角星3n个．∴第20个图中五角星有3×20＝60个． (2)由(1)可知，摆成第n个图案需要3n个五角星． (3)摆成第2015个图案需要五角星2015×3＝6045(个)． 2. （2023湖南张家界）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： （1）当，时，_____，_____； （2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； （3）当，时，令，，，…，，且，求T的值． 【答案】（1）， （2）猜想结论：，证明见解析 （3） 【解析】【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可； （2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可； （3）结合题意利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解： 当，时， 原式； 当，时， 原式； （2）猜想结论： 证明： ； （3） ． 【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键． 3.【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； （2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝　 　； 【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7． ①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝　　；当n＝5，m＝　　时，y＝9； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝　 　（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 【答案】见解析。 【解析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理． （2）由图可知n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答． （3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论． 【解答】（1）有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2． 直角梯形的面积为（a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2． （2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1． 由图形可知：n2＝1+3+5+7+… ... ...