第一章　空间向量与立体几何专题强化练1　基底法在立体几何中的应用练习（含解析）数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题强化练1　基底法在立体几何中的应用 1.(2024湖北黄冈黄梅国际育才高级中学开学考)如图,在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别在棱AA1,CC1上,A1M=AA1,CN=CC1,且∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°. (1)用向量,,表示向量; (2)求证:D,M,B1,N四点共面; (3)当为何值时,AC1⊥A1B 请说明理由. 2.(2024四川成都七中月考)如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中以顶点A为端点的三条棱的长均为1,且它们彼此间的夹角都是60°. (1)求证:AC1⊥DB; (2)求异面直线BD1与AC所成角的余弦值. 3.(2024山西晋中期中)如图所示,在棱长为2的正四面体A-BCD中,E为等边三角形ACD的中心,F,G分别满足=,=. (1)用,,表示,并求出||; (2)求直线FG与平面ACD所成角的正弦值. 4.(2024辽宁部分高中协作体联考)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,CB⊥BD,∠C1CD=45°,∠C1CB=60°,CC1=CB=BD=1. (1)求对角线CA1的长度; (2)求二面角C-BD-C1的余弦值. 5.(2024福建厦门二中月考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°. (1)求证:直线A1C⊥平面BDD1B1; (2)求A1到平面BDD1B1的距离. 6.(2024湖北襄阳五校开学考)如图,在三棱锥D-ABC中,AD=CD=AE=CE=BC,CD⊥AD,记二面角D-AC-B的平面角为θ. (1)若θ=,BC=2,求三棱锥D-ABC的体积; (2)若M为BC的中点,求直线AD与EM所成角的取值范围. 7.(2024辽宁大连月考)已知四棱锥T-ABCD的底面是平行四边形,平面α与直线AD,TA,TC分别交于点P,Q,R,且===x,点M在直线TB上,N为CD的中点,且直线MN∥平面α.设=a,=b,=c. (1)试用基底{a,b,c}表示向量; (2)证明:对所有满足条件的平面α,点M都落在某一条长为TB的线段上. 答案与分层梯度式解析 专题强化练1　基底法在立体几何中的应用 1.解析　(1)=+++=-+++=+-. (2)证明:∵=-=-,=-=-,∴=,∴D,M,B1,N四点共面. (3)当=1时,AC1⊥A1B,理由如下: 设=c,=b,=a, ∵底面ABCD为菱形,∴当=1时,|a|=|b|=|c|, ∵=++=a+b+c,=-=a-c, ∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°, ∴·=(a+b+c)·(a-c)=a2+a·b-b·c-c2=0,∴AC1⊥A1B. 2.解析　(1)证明:∵以顶点A为端点的三条棱的长均为1,且它们彼此间的夹角都是60°, ∴·=·=·=1×1×cos 60°=, ∴·=(++)·(-)=(++)·(-)=·-·+-·+·-=-+1-+-1=0,∴AC1⊥DB. (2)∵=+-=+-,=+, ∴||= = ==, ||====, ·=(+-)·(+)=-+·+·=1-1++=1, ∴cos<,>===, ∴异面直线BD1与AC所成角的余弦值为. 3.解析　(1)连接AE并延长,交CD于M,则M为CD的中点, 则==×(+)=(+), 所以=+=+(+)=+(-+-)=(++), 所以||=|++|== ==. (2)根据题意,可知BE⊥平面ACD,因此,直线FG与平面ACD所成角的正弦值即为直线FG与直线BE所成角的余弦值. 破题关键(将线面角转化为异面直线所成的角,进一步转化为两个方向向量的夹角或其补角) 易得=-=-, 则||== = ==, 故cos<,>= = = ===. 则直线FG与平面ACD所成角的正弦值为. 4.解析　(1)由题意知,在Rt△CBD中,CD=,∠BCD=45°,以,,为基向量,可得=++①, 易得·=||||cos∠BCD=1,·=,·=1, 对①式等号两边同时平方,得==+++2·+2·+2·=1+2+1+2+1+2=9, 所以||=3,即CA1=3. (2)在△C1CD中,C1D2=C+CD2-2CC1·CDcos 45°=1,则C1D=1, 因为CC1=CB=1,∠C1CB=60°,所以△C1CB为等边三角形,所以C1B=1, 所以C1B=BD=C1D,故△C1DB为等边三角形, 取BD的中点O,连接C1O,则C1O⊥BD,故·=0, 因为CB⊥BD,所以·=0,设二面角C-BD-C1的平面角为θ,由图可知,θ为锐角. 易得=++②, ·=||||·cos(π-θ), ②式等号两边同时平方,得=+++2·+2·+2·=2-cos θ, 所以2-cos θ=1,则cos θ=. 所以二面角C-BD-C1的余弦值为. 5.解析　(1)证明:设=a,=b,=c,则{a,b,c}为空间的一个基底,且=a+b-c,=b-a,=c, ∵AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°, ∴a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a=. 在平面BDD1 ... ...