第一章　空间向量与立体几何综合拔高练习（含解析）数学人教A版（2019）选择性必修第一册

综合拔高练 五年高考练 考点1　用向量法解决立体几何中的证明、求值问题 1.(2023全国乙理,19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2,PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=DO,点F在AC上,BF⊥AO. (1)证明:EF∥平面ADO; (2)证明:平面ADO⊥平面BEF; (3)求二面角D-AO-C的正弦值. 考点2　用坐标法解决立体几何中的证明、求值问题 2.(2023北京,16)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=. (1)求证:BC⊥平面PAB; (2)求二面角A-PC-B的大小. 3.(2023新课标Ⅰ,18)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. (1)证明:B2C2∥A2D2; (2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P. 4.(2023新课标Ⅱ,20)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点. (1)证明:BC⊥DA; (2)点F满足=,求二面角D-AB-F的正弦值. 5.(2023全国甲理,18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明:A1C=AC; (2)已知AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 6.(2023天津,17)三棱台ABC-A1B1C1中,已知A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,N为线段AB的中点,M为线段BC的中点. (1)求证:A1N∥平面C1MA; (2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值; (3)求点C到平面C1MA的距离. 考点3　用空间向量解决立体几何中的最值问题 7.(2021全国甲理,19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1. (1)证明:BF⊥DE; (2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小 8.(2020全国新高考Ⅰ,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明:l⊥平面PDC; (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 三年模拟练 应用实践 1.(2024云南部分名校联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AB=2,PA=PD=,E为BC的中点. (1)证明:AD⊥PE; (2)若二面角P-AD-B的平面角为,G是线段PC上的一个动点(包含端点),求直线DG与平面PAB所成角的最大值. 2.(2024吉林长春第二中学月考)在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1. (1)求证:BC⊥平面ACFE; (2)若点M在线段EF上运动(包含端点),设平面MAB与平面FCB的夹角为θ,试求cos θ的取值范围. 3.(2024江苏无锡期中联考)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,AC=16,PA=PC=10,O为AC的中点,H为△PBC内的动点(含边界). (1)求点O到平面PBC的距离; (2)求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值; (3)若OH∥平面PAB,求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围. 4.(2024天津四十七中月考)如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=,平面EDCF⊥平面ABCD. (1)求证:DF∥平面ABE; (2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值; (3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 若存在,求出线段BP的长;若不存在,请说明理由. 迁移创新 5.(2023四川外语学院重庆第二外国语学校期中)湖北省鄂州市洋澜湖畔有一座莲花山.莲花山,山连九峰,状若金色莲初开,独展灵秀,故而得名.这里三面环湖,通汇长江,山峦叠翠,烟波浩渺.旅游区管委会计划在山上建设一座别致的凉亭供游客歇脚,该凉亭的实景效果图和设计图分别如图①和图②所示,该凉亭的支撑柱高3 m,顶部是底面边长为2 m的正六棱锥,且各侧面与底面所成的角都是45°. (1)求该凉亭及其内部所占空间的大小; (2)在直线PC上是否存在点M,使得直线MA与平面BD1F1所成角的正弦值为 若存在,请确定点M的位置;若不存在, ... ...