随机变量的数字特征 学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值，掌握一些特殊分布的均值. 2.能利用随机变量的均值解决一些简单的实际问题. 学习活动 目标一：通过具体实例，理解离散型随机变量的均值，掌握一些特殊分布的均值. 任务1：类比样本均值，理解离散型随机变量的均值. 一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元. 设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？为什么 问题： 1.如果重复这个创业项目n次，那么成功和失败的次数分别是多少？平均收益是多少？此时p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？ 参考答案： 项目成功的概率为p，则成功次数估计为np，失败次数估计为n-np=n(1-p). 因此在这n次试验中，投资方收益(单位：万元)的n个数据可以估计为 这一组数的平均数为 因为上述平均数体现的是平均收益，所以当 5000p+(-3000)(1-p)>0， 即p>0.375时，就应该对创业项目进行资助. 2.设投资公司的收益为X，试列出随机变量X的分布列.你有什么发现？ 参考答案： 随机变量X的分布列如下 X5000-3000Pp1-p 由上面的分析可知，式子5000p+(-3000)(1-p)刻画了X取值的平均水平. 【概念讲解】 一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn 则称 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). 离散型随机变量X的均值E(X)也可以用EX表示，它刻画了X的平均取值. 例1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分ξ的数学期望. 参考答案： 取出4只球颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为 随机变量ξ的分布列为 所以 【归纳总结】 求离散型随机变量X的均值的步骤： (1)确定随机变量X的所有可能的取值； (2)求出随机变量取各个值时对应的概率； (3)利用公式求出均值. 练一练 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值. 参考答案： (1)X的所有可能取值为1，2，3，则 抽取次数X的分布列为 所以 任务2：小组讨论，推导具有线性关系的两个随机变量均值之间的关系 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn 设a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量. (1)列出Y的分布列，那么E(Y)如何表示？ (2)E(Y)与E(X)有什么联系？ 参考答案： (1)随机变量Y的分布列为 (2)若X与Y都是随机变量，且Y=aX+b(a≠0),则由X与Y之间分布列的关系可知 练一练 设ξ的分布列为 ξ1234P 又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于( ) A. B. C. D. 参考答案： E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝. 故选D. 任务3：掌握二项分布的均值，了解超几何分布的均值. 例2 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X). 参考答案： 随机变量X服从参数为p的两点分布，其分布列如下 X10Pp1-p 所以E(X)=1×p+0×(1-p)=p. 【归纳总结】 随机变量X均值公式服从参数为p的两点分布E(X)=p二项分布X~N(n，p)E(X)=np超几何分布X~H(N，n，M) 练一练 某运动员投篮命中率为p＝0.6. ①求投篮1次时命中次数X的均值； ②求重复5次投篮时，命中次数Y的均值． 参考答案： ①投篮1次，命中次数X的分布列如下表： X01P0.40.6 则E(X)＝0.6. ②由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即 Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3. 目标二：能利用随机变量的均值解决一些简单的实际问题. 任务:完成下列例题，会用数学 ... ...
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