中小学教育资源及组卷应用平台 压轴题04几何综合 题型一 线段最值问题 分类：①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题 解题模板： ①动点路径问题 【例1】（山东济宁-中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题． （1）阅读材料 立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角． 例如，正方体（图1）．因为在平面中，，与相交于点A，所以直线与所成的就是既不相交也不平行的两条直线与所成的角． 解决问题 如图1，已知正方体，求既不相交也不平行的两条直线与所成角的大小． （2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点． ①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ； ②在所选正确展开图中，若点M到，的距离分别是2和5，点N到，的距离分别是4和3，P是上一动点，求的最小值． 【变式1-1】（山东日照-中考真题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE． （1）求证：△ABC≌△BDF； （2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值． 【变式1-2】（江苏连云港-中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值． 【变式1-3】（2023-四川自贡-中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，． (1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值； (2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长． ②“胡不归”问题 【例2】（2023-江苏泰州-三模）如图，已知中，，E是上的一点，，点D是线段上的一个动点，沿折叠，点C与重合，连接． (1)求证：； (2)若点F是上一点，且，求的最小值． 【变式2-1】（2023-广东广州-二模）如图①，在四边形中，，，． (1)求的度数； (2)如图②，为线段的中点，连接，求证：； (3)如图③，若，线段上有一动点，连接，将沿所在直线翻折至的位置，为的对应点，连接，，请直接写出的最小值． 【变式2-2】（2023-广东广州-二模）如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，． (1)求的长； (2)连接，若，求证：； (3)若，试求的最小值． 【变式2-3】（广东广州-中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ． (1)求BD的长； (2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF， ①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积； ②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由． ③“将军饮马”问题 【例3】【变式3-1】（23-24九年级上-黑龙江大庆-期中）如图，以矩形的顶点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处． (1)直接写出点、的坐标； (2)连接交于点，求的面积． (3)在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值和直线的函数解析式；如果不存在，请说明理由． 【变式3-2】（天津西青-一模）如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处． （1）求点、的坐标； （2）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式； （3）如图③，在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？若存在，请求出四边形周长的最小值及此时点、的坐 ... ...
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