2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型四 第21题与圆有关的证明与计算 (含答案)

2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型四 第21题与圆有关的证明与计算 类型一　角度问题 典例精讲 例 1　已知AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP交⊙O于点C，连接BC. (Ⅰ)如图①，若∠P＝20°，求∠B的度数； (Ⅱ)如图②，过点A作弦AD⊥OP于点E，连接DC，若OE＝CD，求∠P的度数． 例1题图 【思维教练】(Ⅰ)要求∠B的度数，可根据圆周角与圆心角的关系求∠AOP的度数，要求∠AOP的度数，由切线的性质结合∠P已知即可求解；(Ⅱ)要求∠P的度数，可根据切线的性质求∠POA的度数，要求∠POA的度数，需连接DB，OD，由垂径定理和三角形中位线的性质即可得到CD＝DB，进而得到＝＝，即可求解． 【自主解答】 针对演练 1. 已知AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝26°. (Ⅰ)如图①，求∠CAB的度数； (Ⅱ)如图②，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E，求∠E的大小． 第1题图 2. 已知AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，以AD为直径作⊙O，分别交AB于点M，交BC于另一点E. (Ⅰ)如图①，连接AE，若AE＝AM，求∠EAD的度数； 第2题图① (Ⅱ)如图②，过点M作⊙O的切线交BC于点N，过点D作⊙O的切线交MN于点G，若∠C＝50°，求∠DGN的度数． 第2题图② 3. 已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，过点C作⊙O的切线与BA的延长线交于点P，∠P＝38°. (Ⅰ)如图①，若点D为的中点，求∠EDO的大小； (Ⅱ)如图②，若DO∥AC，求∠EDO的大小． 第3题图 4. 已知在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，∠ABC＝58°. (Ⅰ)如图①，若∠AEC ＝85°，求∠BAD和∠CDB的大小； (Ⅱ) 如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DF，与AB的延长线相交于点F.求∠F的大小． 第4题图 5. 已知AB为⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，过⊙O上的点C作CD∥AB交AD于点D，连接BC，AC. (Ⅰ)如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C，求∠ACD和∠DAC的大小； 第5题图① (Ⅱ)如图②，当CD为⊙O的割线且与⊙O交于点E时，连接AE.若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小． 第5题图② 6. 在⊙O中，AB是直径，点C、D是AB上方的圆弧上的点，∠ADC＝20°. (Ⅰ)如图①，若CD∥AB，求∠CAB和∠ACD的大小； (Ⅱ)如图②，若AD平分∠CAB，过点C作⊙O的切线，与BD的延长线交于点E，求∠E的大小． 第6题图 类型二　线段问题 典例精讲 例 2　已知AB为⊙O的直径，点C，D为⊙O上的两点，AD的延长线与BC的延长线交于点P，连接CD，∠CAB＝30°. (Ⅰ)如图①，若＝2，AB＝4，求AD的长； (Ⅱ)如图②，过点C作⊙O的切线交AP于点M，若CD＝AD＝6，求CM的长． 例2题图 【思维教练】(Ⅰ)要求AD的长，需先构造直角三角形，连接DB，由＝2知∠CAD与∠CAB之间的关系，进而求得∠DAB的大小，再在Rt△ADB中解直角三角形即可求解；(Ⅱ)要求CM的长，需先构造直角三角形，连接OC，由直径所对的圆周角为90°可知△ACB是直角三角形，由四点共圆可知∠ADC，已知AD＝CD，可解得∠DAC和∠DCA，进而解得∠OCD，AD∥OC，由切线的性质和AD∥OC得出∠DMC＝90°，再在Rt△CDM中解直角三角形即可求解． 【自主解答】 针对演练 1. 如图①，AB是⊙O的弦，OE⊥AB，垂足为P，交于点E，且OP＝3PE，AB＝4. (Ⅰ)求⊙O的半径； (Ⅱ)如图②，过点E作⊙O的切线CD，连接OB并延长与该切线交于点D，延长OA交CD于C，求OC的长． 第1题图 2. 已知点A、C在半径为2的⊙O上，直线AB与⊙O相切，∠OAC＝30°，连接AC与OB相交于点D. (Ⅰ)如图①，若AB＝BD，求CD的长； (Ⅱ)如图②，OB与⊙O交于点E，连接CE，若CE∥OA，求BE的长． 第2题图 参考答案 类型一　角度问题 典例精讲 例 1　解：(Ⅰ)∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠PAB＝90°， ∴∠P＋∠AOP＝90°. ∵∠P＝20°， ∴∠AOP＝90°－∠P＝70°， ∴∠B＝∠AOP＝35°； (Ⅱ)如解图，连接DB，OD， ∵AD⊥OP于点E， ∴AE＝E ... ...