苏科版八年级下册数学-正方形中十字架模型（原卷板+解析版）

苏科版八年级下册数学-正方形中十字架模型 十字架模型 分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。 【典例1】问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？ （1）直接判断：AE 　＝　BF（填“＝”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处． ①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由； ②若AB＝6，点P在BD上，BD＝3BP，直接写出PH′+AN的最小值为 　2　． 【答案】（1）＝； （2）相等，理由见解答部分； （3）①四边形AHNH′是正方形； ②2． 【解答】解：（1）∵AE⊥BF， ∴∠EMB＝90°， ∴∠FBC+∠BEM＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠FBC+∠BFC＝90°， ∴∠BEM＝∠BFC， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE＝BF． 故答案为：＝； （2）GE＝BF，理由如下： 如图2，过点A作AN∥GE，交BF于点H，交BC于点N， ∴∠EMB＝∠NHB＝90°， ∴∠FBC+∠BNH＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°， ∵AD∥BC，AN∥GE， ∴四边形ANEG是平行四边形， ∴AN＝EG， ∵∠C＝90°， ∴∠FBC+∠BFC＝90°， ∴∠BNH＝∠BFC， ∴△ABN≌△BCF（AAS）， ∴AN＝BF， ∵AN＝EG， ∴GE＝BF． （3）①如图3，连接CH， 由（2）的结论可知，AE＝MN， ∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC， ∵BH＝BH， ∴△ABH≌△CBH（SAS）， ∴∠BAH＝∠BCH，AH＝CH， 由折叠可知，AH＝AH′，NH＝NH′， ∵∠ABN+∠AHN＝180°， ∴∠BAH+∠BNH＝180°， ∵∠BNH+∠HNC＝180°， ∴∠BAH＝∠HNC， ∴∠HNC＝∠NCH， ∴NH＝CH， ∴NH＝CH＝AH＝AH′＝NH′， ∴四边形AHNH′是菱形， ∵∠AHN＝90°， ∴菱形AHNH′是正方形； ②如图4，作H′Q⊥BC交CB的延长线于点Q，作HF⊥BC于点M， ∴∠H′QN＝∠HFB＝90°， 由上知四边形AHNH′是正方形， ∴H′N＝HN，∠H′NH＝90°，AH′＝AN， ∴∠H′NQ+∠HNF＝∠HNF+∠NHF＝90°， ∴∠H′NQ＝∠NHF， ∴△H′QN≌△NFH′（AAS）， ∴H′Q＝NF，QN＝HF； ∵∠HBF＝45°，∠HFB＝90°， ∴△BHF是等腰直角三角形， ∴HF＝BF＝NF+BN， ∵QN＝QB+BN， ∴NF＝QB＝QH′， ∴∠H′BQ＝∠ABH′＝45°， ∴∠H′BD＝90°； 如图4，作P关于BH′的对称点P′，则PH′＝P′H′，过点P′作PK⊥AB交AB延长线于点K， 则△PBK是等腰直角三角形， ∴PH′+AN＝PH′+AH′＝P′H′+AH′≥AP′，即当A，H′，P′三点共线时，PH′+AN最小，最小值为AP′的长． ∵AB＝6， ∴BD＝6， ∵BD＝3BP， ∴BP＝BP′＝2， ∴PK＝BK＝2， ∴AK＝8， ∴AP′＝＝2，即PH′+AN的最小值为2． 故答案为：2． 【变式1-1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝4， ∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝4， 又∵DE＝AF＝1， ∴CE＝DF＝3， 在△CDF和△BCE中， ， ∴△CDF≌△BCE （SAS）， ∴∠DCF＝∠CBE， ∵∠DCF+∠BCF＝90°， ∴∠CBE+∠BCF＝90°， ∴∠BGC＝90°， 在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3， ... ...