中小学教育资源及组卷应用平台 专题19.5 一次函数的实际应用问题之五大考点 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用一次函数解决分配方案问题】 1 【考点二 利用一次函数解决最大利润问题】 5 【考点三 利用一次函数解决行程问题】 9 【考点四 利用一次函数解决几何问题】 13 【考点五 利用一次函数解决其他问题】 19 【过关检测】 23 【典型例题】 【考点一 利用一次函数解决分配方案问题】 例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间和双人间每天都是600元，为吸引客源，促进旅游，在“十 一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房，要求租住的房间正好被住满． （1）如果一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ （2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式； （3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用． 【答案】（1）三人间客房8间，双人间客房13间；（2）y＝﹣50x+7500；（3）不是，租住3人间客房16间，租住2人间客房1间，此时费用为5100元 【分析】（1）根据在“十 一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，一天一共花去住宿费6300元，可以列出相应的方程组，然后求解即可； （2）根据题意可以写出y与x的函数关系式； （3）根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得x为何值时，费用最低，并写出最低费用时的住宿方案． 【详解】解：（1）设租住了三人间客房a间，双人间客房b间， 根据题意得： ， 解得：， 答：租住了三人间客房8间，双人间客房13间； （2）由题意可得， y600×0.5600×0.5＝﹣50x+7500， 即y与x的函数关系式是y＝﹣50x+7500； （3）∵y＝﹣50x+7500，k＝﹣50， ∴y随x的增大而减小， ∴当x满足、为整数，且最大时，住宿费用最低， ∴当x＝48时，y取得最小值，此时y＝﹣50×48+7500＝5100，=16，=1， ∵5100＜6300，∴一天6300元的住宿费不是最低， 答：一天6300元的住宿费不是最低，住宿费用最低的设计方案为：租住3人间客房16间，租住2人间客房1间，此时费用为5100元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答． 【变式训练】 1．为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买、两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个型篮球和2个型篮球共需340元，购买2个型篮球和1个型篮球共需要210元． （1）求购买一个型篮球、一个型篮球各需多少元？ （2）若该校计划投入资金元用于购买这两种篮球，设购进的型篮球为个，求关于的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多少元？ 【答案】（1）购买一个型篮球需80元，一个型篮球需50元；（2）；（3）该校至少需要投入资金元． 【分析】（1）设购买一个型篮球需元，一个型篮球需元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得； （2）根据（1）的结论可得购买型篮球的费用和购买型篮球的费用，再求和，然后根据两种型号的篮球个数均大于0求出的取值范围即可； （3）先根据“购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍”建立不等式求出的取值范围，再利用一次函数的性质即可得． 【详解】解：（1）设购买一个型篮球需元，一个型篮球需元， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：购买 ... ...
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