【精品解析】2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破2 重二次根式的化简

2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破2 重二次根式的化简 一、选择题 1．（2023九上·叙州月考）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法 【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确，符合题意； B、∵，∴B不正确，不符合题意； C、∵不是同类二次根式，∴C不正确，不符合题意； D、∵，∴D不正确，不符合题意； 故答案为：A. 【分析】利用二次根式的性质及二次根式的减法的计算方法逐项分析判断即可. 2．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： 除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的二次根式，如：对于设x 易知 故x >0，由 得 x= ，即 根据以上方法，化简 的结果是 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算；开平方（求平方根） 【解析】【解答】解：设， 则 =12-6 =6； ∵， ∴； ∴； ∴ . 故答案为：D. 【分析】根据题意设，求出，代入原式，化简求值即可. 二、填空题 3．（2015八下·绍兴期中）计算： =　 　． 【答案】 ﹣1 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：∵1＜ ， ∴1﹣ ＜0， ∴ = ﹣1， 故答案为： ﹣1． 【分析】判断1和 的大小，根据二次根式的性质化简即可． 4．（2023八上·叙州月考）先阅读下面的解答过程，然后再解答： 要对形如的式子化简，只要找到两个数、，使，，即，，那么便有． （1）用上述方法化简：　 　 ； （2）若的整数部分为，小数部分为，则　 　 ． 【答案】（1） （2） 【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）由题意可得： ， ∵， ∴， ∴， ∴a=1，， ∴， 故答案为：. 【分析】（1）利用完全平方公式和二次根式的性质计算求解即可； （2）根据题意先求出，再求出a和b的值，最后代入计算求解即可。 5．（2020八上·浦东月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2=( )2，3=( )2等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求3-2 的算术平方根。 解：3-2 =2-2 +1=( )2-2 +1=( -1)2， ∴3-2 的算术平方根是 -1。 你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题： （1）填空： = 　 　。 =　 　 （2）化简： 【答案】（1） +1；4+ （2）解：原式= ， = ， = -1 【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；配方法的应用 【解析】【解答】解：（1）， . 故答案为：；； 【分析】（1）根据题意进行配方，再根据算术平方根的定义即可求解； （2）根据题意把各二次根式进行化简，再合并同类二次根式，即可求解. 三、实践探究题 6．[阅读材料]数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现．有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”小明发现，如果a2±2ab+b2=(a±b)2，那么=|a±b|．如何化简重二次根式？可以把9+4转化为22+2×2×+()2=(2+)2的完全平方形式，因此=2+ ． [解决问题] （1）化简下列各式： ①；②． （2）[拓展延伸]小明继续探索，若设a+b =(m+n )2=m2 +2n2+2mn (其中a，b ，m，n均为整数)，则有a=m2 +2n2 ，b= 2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法． 当a，b，m，n均为正整数时，已知a+b=(m+n)2 ，请用含m，n的式子分别表示a，b． （3）化简：． 【答案】（1）解：①． ② （2）解：a+b =(m+n)2 =m2 +2mn+3n2 =(m2 +3n2)+2m， ∴a=m2 +3n2 ，b =2mn． （3）解：()=15>8 设8+2=(m+n)2=3m2+2mn+5n2=(3m2+5n2 )+2mn.8=3m2+5n2，2= 2mn，且m，n都为正整数，∴m=1，n= ... ...