【精品解析】2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破13 构造中位线

2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破13 构造中位线 一、选择题 1．（2022·新河模拟）老师布置的作业中有这么一道题： 如图，在中，为的中点，若，．则的长不可能是（　　） A.5 B.7 C.8 D.9 甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误。乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决。丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需构造一个特殊四边形，就可以解决关于三位同学的思考过程，你认为正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 【答案】D 【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：如图1所示，延长AD到E使得AD=ED=4 ， ∵D是BC的中点， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=EC， ∵， ∴，即， 如图2所示，取AB中点F，连接DF， ∵D、F分别为BC、AB的中点， ∴DF是△ABC的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴甲说法不符合题意，乙和丙说法符合题意， 故答案为：D． 【分析】：如图1所示，延长AD到E使得AD=ED=4 ，证明△ABD≌△ECD（SAS），可得AB=EC，根据三角形三边关系可得，从而求出；如图2所示，取AB中点F，连接DF，可知DF是△ABC的中位线，可得，，根据三角形三边关系可得，从而求出，据此判断即可. 2．如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD= BC，过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF=2CD，连结DF.若AB=8，则DF的长为（　　） A．3 B．4 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接EG， ∵E是AC的中点， ∴EG是△ABC的中位线， ∴EG=AB=4， 设CD=x，则EF=BC=2x， ∴BG=CG=x， ∴EF=2x=DG， ∴EF∥CD， ∴四边形EGDF是平行四边形， ∴DF=EG=4. 故答案为：B. 【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得求出EG的长，设CD=x，则则EF= BC= 2x，然后证明四边形EGDF是平行四边形，则可得出DF=EG，即可解答. 3．（2023八下·雅安期末）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，，若，，则的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：连接AC， ∵E、F分别是、的中点， ∴EF//AC，EF= ∵， ∴ ∴EF=6 故答案为：A. 【分析】连接AC，根据已知条件得出EF//AC，进而根据勾股定理求得AC，根据三角形的中位线定理，即可求解． 4．（2023九上·内江期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4直线l经过点B，AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，则AE+CF的最大值为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：如图1，点E、F在AC的同侧，取AC的中点G、EF的中点H，连接并延长EG交FC的延长线于点M，连接GH， ∵AE⊥l于点E，CF⊥l于点F， ∴.AE//CF， ∴∠GAE =∠GCM， 在ΔGAE和ΔGCM中， ∴△GAE≌△GCM（ASA）， ∴AE = CM，GE = GM， ∴GH∥FM，， ∴AE∥HG， ∴GH⊥l， ， ∵∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4， ， ， ， ， 此时，AE+ CF的最大值为； 如图2，点E、F不在AC的同侧，作CN⊥AE交AE的延长线于点N， ∵∠N =∠NEF =∠EFC = 90°， ∴四边形NEFC是矩形， ∴NE= CF， ∴AE + CF = AE + NE = AN， ∵AN ≤AC， ∴AE + CF≤3， 此时，AE+CF的最大值为3， ∵， ∴AE+ CF的最大值为， 故答案为：D. 【分析】分类讨论：①点E、F在AC的同侧，取AC、EF的中点G、H，连接并延长EG交FC的延长线于点M，连接GH，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AE∥CF，根据二直线平行，内错角相等得∠GAE =∠GCM，从而利用ASA判断出△GAE≌△GCM ... ...