中小学教育资源及组卷应用平台 期中考试相交线与平行线压轴题专项训练 【重点题型梳理】 例1（求时间问题）．已知直线，点E和点F分别在直线和上． (1)如图1，射线平分 交于点G，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)t的值为25或115 【分析】（1）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，进而可求出的度数； （2）过点H作，由平行线的性质得，，从而，进而可得，由角平分线的定义得，，然后根据可得结论； （3）分当与共线前和当与共线后两种情况求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． （2），理由如下： 过点H作， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，； ∵， ∴， ∴． ∴． （3）由（1）知，， ∴． 如备用图1，当与共线前， ∵， ∴， ∴， 解得； 如备用图2，当与共线后， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上可知，t的值为25或115． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 例2．（求角度）【问题情境】如图1，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．直接写出之间的数量关系为 ． 【实践运用】如图2，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．平分，平分，若，求的度数． 【拓广探索】如图3，，直线交于点H，交于点G，点P为平面内不在直线，，上的一点，若，，则 （直接写出答案，用x，y表示）． 【答案】【问题情境】；【实践运用】的度数为；【拓广探索】的大小为或或或． 【分析】问题情境：如图，作，而，则，再利用平行线的性质可得结论； 实践运用：设，平分，可得，由（1）得：，可得．过点M作，则，可得．，再利用角的和差关系可得答案； 拓广探索：对P点的位置有六种可能，再分情况画出图形，利用数形结合的方法解题即可． 【问题情境】如图，作，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【实践运用】设，平分， ∴， 由（1）得：， ∴． ∵平分． ∴． 过点M作，则， ∴． ∵， ∴， ∴． 【拓广探索】对P点的位置有六种可能， ①如图所示，作，而 ∴，而，， ∴，， ∴， ②如图所示，作，而 ∴， ∴，， ∴， ③如图所示，作，而 ∴，而，， ∴，， ∴， ④如图所示，作，而记的交点为， ∴，而，， ∴，， ∴， ⑤如图所示，作，而 ∴，而，， ∴，， ∴， ⑥如图所示，作，而 ∴，而，， ∴，， ∴， 综上：的大小为或或或． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的性质，掌握“利用平行线的性质探究角与角之间的数量关系”是解本题的关键． 例3．（角度之间数量关系）如图1，已知直线分别与直线交于点P和点Q，，． (1)求证：； (2)如图2，P，Q两点分别沿直线和向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线上运动，平分，点H在直线 上，连接的延长线交于点N，平分． ①若，，求的大小； ②当点G在之间时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）①过点H作，过点G作，设，，根据平行可表示出和，即可求出； ②过点H作，过点G作，过点N作， 设，，由①得：，分别表示出，，即可 【详解】（1）证明：，， ， . （2）解：①平分，平分， 设， 过点H作，如图， ， ∵， ， ， 过点G作， ， ，， ， . ， ，解得： ， . ② 过点H作，过点G作，过点N作 ... ...
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