第六章 计数原理总结 第一课（学案+练习）（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章 计数原理 第一课 归纳本章考点 [课标要求] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题． 2.理解排列、组合的概念．能解决简单的实际问题． 3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． [明确任务] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．【数据分析，数学建模】 2.理解排列、组合的概念．能解决简单的实际问题．【数据分析，数学建模，数学运算】 3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【数学运算】 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 2．分类加法计数原理的推广 完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 3．排列 （1）排列的概念：一般地，从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列． （2）排列数的定义：我们把从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m元素的排列数，记作A. （3）排列数公式 A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）． （4）全排列：n个不同的元素全部取出的排列，叫作n个不同元素的一个全排列，A＝n·（n－1）·（n－2）·…·2·1＝n！.于是排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝1. 4．组合 （1）组合的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． （2）组合数的定义：我们把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C表示． （3）组合数公式 C＝＝＝（n，m∈N＋，且m≤n）．特别地C＝1. （4）组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C. 5.二项式定理 （1）二项式定理：（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn（n∈N*）； （2）通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； （3）二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 考点1：计数原理 例1（2022·安徽省安庆市期末）若直线方程中的A，B是从0，1，2，3，5这5个数中任取的2个不同的数，则方程所表示的不同直线共有_____条． 思路点拨 解析 方法一本题中有特殊数0，所以以A，B中是否有0为标准进行分类，可分两类． 第一类，当A，B中有一个为0时，表示直线或，共2条不同直线． 第二类，当A，B都不为0时，确定直线需要分两步完成： 第一步，确定A的值，有4种不同的方法； 第二步，确定B的值，有3种不同的方法． 由分步乘法计数原理知，可以确定的不同直线有（条）． 由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有（条）． 方法二（间接法）分两步： 第一步，确定A的值，有5种不同的方法； 第二步，确定B的值，有4种不同的方法． 由分步乘法计数原理知，可以确定的直线有（条）． 在这20条直线中，当，时，表示同一条直线（直线）；当，时，表示同一条直线（直线）．因此有2条直线分别被多计算3次，故符合条件的不同直线共有（条）． 答案14 归纳总结 分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”． 【举一反三】（2022·广东省佛山市测试 ... ...