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课件网) 第12讲 反比例函数的图象与性质 第6章 反比例函数 浙教版 八年级下册重难点突破系列 1.反比例函数的概念 我们把函数y＝ (k为常数，k≠0)叫做反比例函数．这里x是自变量，y是关于x的函数，k叫作比例系数．显然，反比例函数的自变量x的取值不能为0. 反比例函数解析式还有另两种形式：y＝kx－1或xy＝k(k为常数，k≠0)． 2.反比例函数的图象与性质 (1)反比例函数y＝ (k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线． 当k＞0时，图象在第一、三象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小； 当k＜0时，图象在第二、四象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大． (2)反比例函数y＝ (k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称． 3.反比例函数图象的画法 图象用描点法：列表、描点、连线(一般x取正的5个值，负的5个值，保证每一支图象上有5个点)，注意对于实际问题中的图象往往是双曲线其中的一支或一部分． 4.重要结论：(1)在反比例函数y＝ 图象上任取一点P(x，y)，向x轴作垂线，垂足为A，则S△OAP＝ . (2)在反比例函数y＝ 图象上任取一点P(x，y)，向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A，B，则S矩形PAOB＝ . 【例1】 已知y＝y1－y2，y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x＝－1时，y＝－5；当x＝1时，当y＝1，求y与x之间的函数关系式． 【思路点拨】 y1与x成反比例，可设y1＝ ，y2与x2成正比例，可设y2＝k2x2，则由y＝y1－y2，得y＝ －k2x2，然后把x＝－1，y＝－5；x＝1，y＝1代入，得到关于k1，k2的二元一次方程组，解这个方程组，求出k1，k2的值，进而求出y与x之间的函数关系式． 【例2】 如图，直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝ 交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_____． 【思路点拨】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A，B两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可． 20 【解题过程】 由题意知，直线y＝kx(k＞0)过原点和一、三象限，且与双曲线y＝ 交于A，B两点，则A，B两点关于原点对称，∴x1＝－x2，y1＝－y2. 又∵点A，点B在双曲线y＝ 上， ∴x1y1＝4. ∴2x1y2－7x2y1＝－2x1y1＋7x1y1＝5x1y1＝20. 故填20. 【例3】 如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(1，3)，C(3，1)．若反比例函数y＝ 在第一象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是( ) A．2≤k≤3 B．2≤k≤4 C．3≤k≤4 D．2≤k≤3.5 【思路点拨】根据△ABC三顶点的坐标可知，当反比例函数图象经过点A时k最小，当反比例函数图象与线段BC只有一个公共点时k最大，分别求出k的值，即可作出判断． B 【例4】 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y＝ (k≠0，x＞0)的图象同时经过顶点C，D.若点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为( ) A 【思路点拨】 过点D作DF⊥BC于F，由题意可得菱形边长为5，设DE＝x，则BE＝2x，在Rt△DFC中，利用勾股定理可求出x的值，再设OB＝a，表示出点C，D的坐标，代入反比例函数表达式，即可求得k的值． 【解题过程】 如图，过点D作DF⊥BC于点F, ∵点C的横坐标为5， ∴BC＝5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC＝BC＝5， ∵BE＝2DE， ∴设DE＝x，则BE＝2x， ∴DF＝2x，BF＝x，FC＝5－x， 在Rt△DFC中，DF2＋FC2＝DC2， ∴(2x)2＋(5－x)2＝52， 解得x1＝2，x2＝0(舍去)， ∴DE＝2，BE＝4， 设OB＝a，则点D坐标为(2，a＋4)，点C坐标为(5，a)， ∵反比例函数y＝ 的图象同时经过顶点C，D， ∴k＝2(a＋4)＝5a， ∴a＝ ， ∴k＝ 故选A． 【例5】 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝ 的图象都经过点A(2，2 ... ...
