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课件网) 第2章 对称图形———圆 2.6 正多边形与圆 正多边形的概念及其性质 正多边形和圆的关系 正多边形的画法 我们已经学习过等边三角形(正三角形)、正方形(正四边形).正三角形、正四边形的各边相等，各角也相等生活中，各边相等、各角也相等的多边形的形象处处可见.例如，霓虹灯的边框、螺帽的边缘等。 1. 正多边形 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 2. 正多边形的对称性 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心. 当n为偶数时，它还是中心对称图形，这个对称中心就是正多边形的中心. 知识点 正多边形的概念及其性质 1 3. 二级结论 正n边形的每个内角的度数等于，每个外角的度数等于. 特别解读 “各边相等、各角相等”是正多边形的两个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，缺一不可，否则多边形就不一定是正多边形. 例1 [中考·连云港] 如图2.6-1，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l 经过点B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α=_____°． 48 解题秘方：紧扣正六边形和正五边形的性质以及平行线的性质等知识计算角度． 解：如图2.6-2，设l 交A1A2于点D，交A4A3于点E. 在正六边形A1A2A3A4A5A6中， ∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝＝ 120° . 在正五边形B1B2B3B4B5中， ∠B2B3B4＝＝108° . ∴∠B4B3E＝180°－108°＝72° . ∵ A3A4∥B3B4，∴∠DEA3＝ ∠B4B3E＝72° . ∴ α＝∠A2DE＝360°－∠A1A2A3－∠A2A3A4－∠DEA3＝360°－120°－120°－72° =48° . 思路导引 (1)由正六边形内角相等可知，∠A1A2A3＝∠A2A3A4 ＝120°，同理，∠B2B3B4＝108°，则∠B4B3E ＝ 72°; (2)由平行线的性质得出∠DEA3 ＝∠B4B3E＝72° ; (3) 由四边形的内角和为360°得出答案． 正多边形有关计算是中考常考题型，熟练掌握各种计算公式与发现角之间的数量关系是解决这类问题的关键． 1. 圆的内接正n边形 一般地，只要用量角器把一个圆n (n ≥ 3)等分，依次连接各等分点就能得到这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n 边形的外接圆. 知识点 正多边形和圆的关系 2 2. 正多边形的有关概念 (1)正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心. (2)正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. (4)正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 如图2.6-3 所示，O为正六边形的中心，R为正六边形的半径，α为正六边形的中心角，r 为正六边形的边心距. 3. 拓展 正多边形的半径、中心到边的垂线段、边的一半可构成一个直角三角形，从而利用勾股定理进行相关计算. 拓宽视野 1. 圆的外切正n边形：把一个圆n(n≥3)等分，经过各等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，这个圆是这个正n边形的内切圆. 一定要注意正多边形的半径是指外接圆的半径而不是内切圆的半径. 2. 任意多边形不一定有外接圆和内切圆，但是正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. [中考·扬州] 如图2.6-4，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边. 若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝_____. 例2 解题秘方：本题主要考查正多边形和圆的关系，根据题意求出中心角的度数是解此题的关键． ⌒ 15 解：如图2.6-4，连接OB. ∵ AC是⊙O的内接正六边形的一边， ∴∠AOC＝360°÷6＝60°. ∵ BC是⊙O的内接正十边形的一边， ∴∠BOC＝360°÷10＝36°. ∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝60°－36°＝24°. ∴ n＝360°÷24°＝ ... ...
