(
课件网) 第26章 二次函数 专项3 利用二次函数解决几何中的最值问题 过专项 阶段强化专项训练 类型1 线段（周长）的最值问题 【方法指导】 常见构造二次函数关系求线段的最值问题 1.求竖直线段 长度最值的步骤（如图1，点 在点 上方）：①设点 ，则 ； ②表示线段 的长，即 ；③化简 ，利用二次函数的性 质求最值. 图1 2.求斜线段 长度最值的步骤（如图2）：①设点 ， ；②用式子表示出 ，即 ；③化简 ，利用二次函 数的性质求最值. 图2 图1 1.[2022广元中考]如图1，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 ， 两点， 并与 轴的正半轴交于点 . （1）求 ， 满足的关系式及 的值； 解：已知直线 ， 当 时， ， ， 当 时， ， ， . 将 ， 的坐标分别代入 ， 得 ， ， . （2）当 时，若点 是抛物线对称轴上的一个动点，求 周长 的最小值； 图1 当 时， , ， ， 抛物线的表达式为 ， 抛物线的对称轴是直线 . 由抛物线的对称性可得 ， 要使 的周长最小，只需 的长度最小即可. 如图1，连接 交直线 于点 ，连接 ， 点 与点 关于直线 对称， ， ， 此时 的周长最小，其周长为 . 在 中， . 在 中， . 周长的最小值为 . 图2 （3）如图2，当 时，若点 是直线 下 方抛物线上的一个动点，过点 作 于 点 ，当 的值最大时，求此时点 的坐标及 的最大值. 图2 当 时， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， . 如图2，过点 作 轴于点 ，交 于点 ， 则 是等腰直角三角形. 设 ，则 ， ， . 当 时， 有最大值 . 当 时， . 综上，点 的坐标为 时， 有最大值 . 类型2 面积的最值问题 【方法指导】 1.割补法：解题的关键点为利用割或补的方法，将所求不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差，然后利用规则图形的面积公式求解. 2.平移法：思路的两处关键点为①底定三角形的面积最值由高确定；②平行线间的距离处处相等.解法的两处关键点为①由直线与抛物线只有一个交点得“根的判别式为0”，进而解出交点坐标；②由“平行线间的距离处处相等”将所求三角形的面积转化为一边在 轴或 轴上的三角形的面积，或有一边平行于 轴或 轴的三角形的面积， 如图，将 的面积转化为 的面积（点 为过点 与 平行 的直线与 轴的交点）求解. 2.一题多解[2023珠海期中]如图，在 中， ， ， ，点 从 点 出发沿 向点 以 的速度运动，同时 点 从点 出发沿 向点 以 的速度运动 15 （当一个点到达终点时，另一个点也停止运动），在运动过程中，四边 形 的面积的最小值为____ ． 【解析】解法一 在 中， ， ， ， ．设运动时间为 ,易知 ，则 ， ， ， 当 时，四边形 的面积取得最小值，最小值为 ． 解法二 ， 当 的面积最大时，四 边形 的面积最小.在 中， ， ， ， ．设运动时间为 ，易知 ，则 ， ， ， 当 时， 的面积取得最大值，最大值为 ， 四边形 的面积的最小值为 ． 3.一题多解如图，已知抛物线经过两点 ， ，且其对称轴为 直线 . （1）求此抛物线的表达式； 解：已知抛物线的对称轴是直线 ，且抛物线经过点 ， 由抛物线的对称性可知，抛物线经过点 . 设抛物线的表达式为 . 把 的坐标代入 ，得 ， ， 抛物线的表达式为 ． （2）若点 是抛物线上点 与点 之间的动点(不包括点 、点 ，求 的面积的最大值，并求出此时点 的坐标. 解法一 设直线 的函数表达式为 ， ， ， 解得 直线 的函数表达式为 . 如图，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 . 设 ， ,则 . ， ． 当 时， 有最大值，最大值为 ，此时点 的纵坐标为 ， 的面积的最大值为 ，此时点 的坐标为 ， . 解法二 如图，将直线 平移，使其与抛物线只有 一个交点 ，连接 ，此时 的面积最大. 由解法一知直线 的函数表达式为 ， 可 ... ...
