2024年中考数学复习-多边形知识点归纳 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 多边形知识点归纳 1、多边形 定义 在同一平面内，由一些线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做多边形。如果一个多边形由n条线段组成， 叫做n边形， 如三角形， 四边形， 五边形…， 三角形是最简单的多边形。 边 组成多边形的各条线段叫做多边形的边； 顶点 每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点； 内角 多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角； 外角 多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角 对角线 连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线； 说明 ①多边形的边数、顶点数及角的个数相等； ②把多边形转化成三角形求解的常用方法是连接对角线； ①n边形 (n≥3) 的1个顶点, 可引n-3(n>3)条对角线, 将n边形分成n-2个三角形; ②n边形(n≥3) 共有n(n -3)条对角线； 内角和定理 n边形(n≥3) 的内角和等于(n-2)·180°(每增加1边, 内角和增加180°) ; 推导 多边形内角和公式有多种推导方法(如图)， 但都是把多边形转化为三角形进行解决； 说明 四边形的四个内角中最多有三个钝角或四个直角或三个锐角； 外角和定理 任意多边形的外角和都等于360°； 推导 多边形的每个内角和与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，所以外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°。 说明 ①外角和为定值， 与边数无关， 不随边数的变化而变化； ②四边形的内角和、外角和相等； 四边形的不稳定性 ①三角形的三边如果确定后， 它的形状、大小就确定了， 这是三角形的稳定性； ②四边形的四边确定后， 它的形状不能确定， 这就是四边形所具有的不稳定性。 分类 多边形分为凸多边形和凹多边形； 凸多边形 把多边形的任一边向两方延长， 整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形就叫做凸多边形， 初中阶段只研究凸多边形。凸多边形每个内角都大于0°， 小于 180°； 凹多边形 如图-2， 不满足上述凸多边形的特征， 因为我们画出CD所在的直线， 整个多边形不都在这条直线的同一侧， 我们称它为凹多边形； 说明 以下n边形都有n≥3条件， 不再做标注。 2、正多边形 定义 各个角都相等， 各条边都相等的多边形叫做正多边形； 条件 ①各边都相等； 说明 ①各边都相等的多边形不一定是正多边形， 因为它的内角不一定都相等， 如菱形； ②一个多边形的内角都相等， 它也不一定是正多边形， 因为它的边不一定都相等，如： 长方形的内角都是直角， 但它的边不都相等； 示例 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 性质 ①各边相等， 各内角相等， 各外角相等； ②正 n边形的每一个内角为·(n-2)·180°;每一个外角为360°; ③常用： 正五边形每一内角为 108°， 每一外角为72°； 正六边形每一内角为120°， 每一外角为60°。 ④正n边形有一个外接圆， 还有一个内切圆， 它们是同心圆； ⑤正n边形有n条对称轴； ⑥对于正n边形 平面镶嵌 定义 用一种或几种形状、大小不同的平面图形进行拼接， 彼此之间既无空隙、又不重叠地铺成一片，就叫做平面图形的镶嵌， 也叫做平面图形的密铺。 条件 实现镶嵌的条件： 围绕一点拼在一起的几个多边形的角的和等于360°； 原则 镶嵌的原则： 既不重叠， 也无空隙； 正多边形镶嵌 ①用一种或两种或两种以上的正多边形均可实现镶嵌； ②正三角形， 正方形， 正六边形都能单独完成平面镶嵌； 3个条件 ①镶嵌的正多边形边长相等； ②顶点重合； ③一个顶点处各角的和为360°； 用同一种正多边形镶嵌 设由k个正多边形在同一顶点镶嵌成平面，则有k (n-2)-180°=360°, k(n-2)=2n ∴kn-2k-2n+4=4, (n-2)(k-2)=4 ∴ k=3 或 k=4 或 k=6 n=6 n=4 n=3 用6个正三角形或4个正方形或3个正六边形可在同一顶点处镶嵌成平面，如图 ... ...