中小学教育资源及组卷应用平台 三角形知识点归纳 1、三角形的一般性质 (1)三角形定义及分类 三角形 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，用“Δ”表示,如:ΔABC; 边 组成三角形的线段叫做三角形的边， 如图： 线段AB、AC、BC； 顶点 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点， 如图： 顶点 A、顶点B、顶点C； 角 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角，∠A、∠B、∠C。 分类 三条边都不相等的三角形 按边分 等腰三角形 底边和腰不相等的 等腰三角形 等边三角形 锐角三角形： 三个内角都是锐角 按角分 直角三角形： 有一个内角为 90° 钝角三角形： 有一个内角是钝角 图示 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 等腰三角形 等边三角形 (2)三角形的边、角关系 三边关系 定理 三角形任意两边之和大于第三边; 如图: a+b>c, a+c>b, b+c>a; 推论 三角形任意两边之差小于第三边; 如图: a-b
BC, 则∠C>∠A, 反之, 若∠C>∠A, 则AB>BC; 内角和定理 定理 三角形的3个内角和等于180°, 如图: ∠A+∠B+∠C=180°; 推论 ①任意一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； ②任意一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； ③直角三角形两个锐角互余； 说明 ①三角形的3个内角和等于180°， 与三角形的大小和形状没有关系； ②由三角形内角和定理可得直角三角形的两个锐角互余；反之， 有两个角互余的三角形是直角三角形。 证明 证法①: 延长BC到点 D, 作点C作CE//AB ∵ CE// AB ∴ ∠1=∠4 (两直线平行, 内错角相等) ∠2=∠5 (两直线平行, 同位角相等) ∵ ∠3+∠4+∠5 = 180° (平角的定义) ∴ ∠1+∠2+∠3 = 180° (等量代换) 即: ∠A+∠B+∠ACB = 180° 证法②: 过点A作EF//BC ∵ EF//BC ∴ ∠EAB=∠B (两直线平行, 内错角相等) ∠FAC=∠C (两直线平行, 内错角相等) ∵ ∠EAB+∠BAC+∠CAF=180°(平角定义) ∴ ∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换) 证法③: 过BC上任一点 F, 作DF//AC , 交AB于D,作 EF//AB, 交AC于E; ∵ EF//AB ∴ ∠EFC=∠B (两直线平行, 同位角相等) ∵ DF//AC ∴ ∠BFD=∠C (两直线平行, 同位角相等) ∵ 四边形 ADFE是平行四边形 ∴∠DFE=∠A(平行四边形性质) ∵ ∠BFD+∠DFE+∠EFC=180°(平角定义) ∴ ∠C+∠A+∠B=180°(等量代换) 三角形外角 定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，如图: ∠ABD 是ΔABC 的一个外角; 性质 性质 1： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；如图: 因为∠1 是ΔABC的外角; 所以 ∠1=∠ABC+∠C; 性质 2： 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；如图: 因为∠2 是ΔABC的外角; 所以 ∠2>∠BAC, ∠2>∠C; 说明 ①一个三角形有6个外角； ②要证明角的不等关系， 常常要用到三角形外角的性质2。 外角和定理 三角形的外角和是360°； 如图: ∠1+∠3+∠5=360°, ∠2+∠4+∠6=360°; 稳定性 如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了， 三角形的这个特征， 叫做三角形的稳定性； 说明 ①判断图形是否具有稳定性， 关键在于它的结构是不是三角形结构； ... ... 
