因式分解-提公因式和公式法 知识过关练（原卷版+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 因式分解-提公因式和公式法 知识过关练 知识点1：因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 【典例1】（2023秋 海门市校级月考）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝（a+1）（a﹣1） 【答案】B 【解答】解：a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，则A不符合题意； a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），则B符合题意； x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3，等号的右边不是积的形式，则C不符合题意； a2+1不能因式分解，则D不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（2023春 玄武区期中）下列各式从左到右不属于因式分解的是（　　） A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） 【答案】B 【解答】解：A、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意； B、右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项符合题意； C、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意； D、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】（2022秋 闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 知识点2：公因式 像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母———各项含有的相同字母； ③指数———相同字母的最低次数； 【典例2-1】（2023春 榆阳区期末）多项式6a2b﹣3ab2的公因式是　3ab　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵系数的最大公约数是3， 相同字母的最低指数次幂是ab， ∴多项式6a2b﹣3ab2的公因式是3ab． 【典例2-2】（2023春 大竹县校级期末）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是 　4（m﹣n）　． 【答案】4（m﹣n）． 【解答】解：4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是4（m﹣n）． 故答案为：4（m﹣n）． 【变式2-1】（2023春 礼泉县期中）多项式．4ab2+8a2b的公因式是 　4ab　． 【答案】4ab． 【解答】解：多项式4ab2+8a2b各项的公因式是4ab． 故答案为：4ab． 【变式2-2】（2023春 巴州区月考）多项式3x+3y与x2﹣y2的公因式是 　x+y　． 【答案】x+y． 【解答】解：3x+3y＝3（x+y），x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）， 则多项式3x+3y与x2﹣y2的公因式是x+y． 故答案为：x+y． 【变式2-3】（2023春 开江县校级期末）多项式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是 　2（m﹣n）　． 【答案】2（m﹣n）． 【解答】解：4x（m﹣n）+2y（n﹣m）2的公因式是2（m﹣n）． 故答案为：2（m﹣n）． 知识点3：提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因 ... ...