广东省中山市中山纪念中学2023-2024学年高一下学期4月第一次阶段考试数学试题（含解析）

中山纪念中学2023-2024学年高一下学期4月第一次阶段考试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知向量，，那么等于（ ） A． B． C．1 D．0 2．设，其中，为实数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 3．已知，则等于（ ） A．－2 B．2 C．0 D． 4．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则 A． B． C． D． 5．已知角的大小如图所示，则（ ） A．－5 B．5 C． D． 6．若函数，则 A．－2 B．－1 C．1 D．2 7．设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知向量，，则（ ） A．与方向相同的单位向量的坐标为 B．当时，与的夹角为锐角 C．当时，、可作为平面内的一组基底 D．当时，在方向上的投影向量为 11．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形，其中，，动点在上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的是（ ） 图1 图2 A．若，则 B．若，则 C． D． 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知，则的值为_____． 13．将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则_____． 14．在中，，，，，为中点，若，则实数的值为_____． 四、解答题（共77分，分别为13分、15分、15分、17分、17分） 15．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行． （1）求； （2）若，，求的面积． 16．已知函数， （1）求函数的最小正周期； （2）函数的单调递增区间和对称轴方程． （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 0 0 （1）请写出上表的、、，并直接写出函数的解析式； （2）将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，、分别为函数图象的最高点和最低点（如图），求的大小． 18．已知的内角，，的对边为，，，且． （1）求； （2）若的面积为； ①已知为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 19．长沙市雅礼中学为“雅礼杯”足球赛制作了冠军奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为10，，，若按此方案设计： （1）当时，在中，为边上任意一点，求的最大值； （2）制作商发现，当最长时，该奖杯比较美观，求此时的大小． 数学参考答案： 1．A 【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案． 【详解】，，． 故选：A 2．A 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出． 【详解】因为，，所以，解得：．故选：A． 3．D 【分析】根据齐次式问题分析求解． 【详解】因为，所以． 故选：D． 4．B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案． 【详解】 ． 故选：B 5．A 【分析】由图中的信息可知，化简即可． 【详解】由图可知，， ． 故选：A． 6．B 【分析】 由二倍角公式结合换元法求出函数解析式即可求解． 【详解】 因为 所以， 则，． 故选：B． 7．C 【分析】 根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可． 【详解】 因为，故同 ... ...