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课件网) 第三十章 二次函数 专项4 二次函数图像的交点问题 过专项 阶段强化专项训练 类型1 直线与抛物线的交点问题 第1题图 1.[2023衡水桃城中学期末]在平面直角坐标系中， 抛物线 与直线 如 图所示，方程 的 解为( ) A A. ， B. ， C. ， D. ， 【解析】 联立方程得 得 ，则方程 的 解即抛物线 与直线 的交点的横坐标，由题 图知，抛物线 与直线 的交点的坐标为 和 ，所以方程 的解为 ， ． 第2题图 2.[2021广元中考]将二次函数 的图像 在 轴上方的部分沿 轴翻折后，所得新函数的图像如 图所示.当直线 与新函数的图像恰有3个公共 点时， 的值为( ) A A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【解析】 二次函数的表达式为 ， 抛物线 的顶点坐标为 .当 时， ，解得 ， ，如图，则 抛物线 与 轴的交点为 ， .把抛物线 在 轴上方的部分 沿 轴翻折到 轴下方，则翻折后所得中间部分的抛 物线的表达式为 ，顶点坐标为 .当直 线 过点 时，直线 与该新图像恰好有3个公共点， ，解得 .当直线 与抛物线 相切时，直线 与该新图像恰好有 3个公共点，此时 有两个相等的实数解，整理得 ， ，解得 .综上所 述， 的值为 或 . 类型2 线段与抛物线的交点问题 3.[2023贵州师范大学贵阳附属初级中学一模]如图，在平面 直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 若抛物线 与线段 有公共点，则 的 取值范围为( ) C A. B. C. D. 或 【解析】 如图， 当抛物线过点 时，将 的坐标代入 中，解得 ；当抛物线过点 时， 将 的坐标代入 中，解得 ， ， 直线 的表达式为 .当抛物线与线段 只有一个公共点时，方程 有两个相等的实数根，则 ，解 得 . 当 时，抛物线与线段 有一个公共点，随着 的增大， 抛物线沿竖直方向向上平移；当 时，抛物线与线段 始终有 公共点；当 时，抛物线与线段 有一个公共点.综上所述，抛物 线 与线段 有公共点， 的取值范围为 ． 4.对于题目:在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴交 于点 ， ，过点 且平行于 轴的直线与过点 且平行于 轴的直线相 交于点 ，若抛物线 与线段 有唯一公共点， 求 的取值范围.甲的计算结果是 ，乙的计算结果是 ，则 ( ) D A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲与乙的结果合在一起正确 D.甲与乙的结果合在一起也不正确 【解析】 对于 , 令 ,则 或3，令 , 则 ，所以抛物线与 轴的 交点坐标分别为 ， ,与 轴的交点坐标为 .抛物线 的对称轴为直 线 ，顶点坐标为 ，因为直线 分别与 轴、 轴交于点 ， ，所以点 ， 的坐标分别为 ， ,所以点 的 坐标为 .（1）若 ,如图1，当抛物线过点 时,抛物线与线段 有一个公共点，将点 的坐标代入抛物线的表达式，得 ，解得 ，结合图像可知，当抛物线与线段 有唯一公共点时， .（2）若 ，当抛物线的顶点在线段 上时，抛物线与 有 唯一公共点，此时 ，解得 ;如图2，当抛物线过点 时,抛 物线与 有两个交点，将点 的坐标代入抛物线的表达式， 得 ，解得 ，结合图像可知，当 抛物线与线段 有唯一公共点时， ，故当 时，满足题意 的 的取值范围为 或 .综上, 的取值范围为 或 或 . 类型3 整点问题 5.[2023石家庄藁城区二模]已知抛物线 ， 均为常数， 且 ， 交 轴于点 ，点 在抛 物线 上，连接 ，且 平行于 轴． （1）用 表示 ，并求抛物线 的对称轴及 点坐标； 解： 轴，点 、点 在抛物线 上， 点 、点 关于抛物线的对称轴对称， 抛物线 的对称轴为直线 ， ， ， 在抛物线上， ， ． （2）当抛物线 经过 时，求 的表达式及其顶点坐标； 抛物线 经过点 ， ， 解得 的表达式为 ， 顶点坐标为 ． （3）如果把横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，如图，当 时， 若抛物线 位于线段 下方的部分与线段 所围成的区域内（不含边 界）恰有 ... ...
