中小学教育资源及组卷应用平台 6.3 正弦型函数的图像和性质 学习目标 知识 能力与素养 会用五点法作图画正弦型函数在一个周期上的简图，会求 y=Asin(ωx+φ) 的最大值、最小值、周期和单调区间． 了解正弦型函数与正弦函数之间的关系，培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等，体会从特殊到一般的归纳推理方法，通过学习，逐步提升直观想象和逻辑推理等核心. 学习重难点 重点 难点 五点法作图、 A、ω、φ对函数图像的影响． 正弦型函数性质的应用． 教材分析 正弦型函数的图像变换是三角函数的基本内容，在前面正弦函数图像和性质的基础上，通过平移和伸缩变换得到，体现了函数之间的关系. 学情分析 学生已经学习了正余弦函数的图像和性质，基础知识相对薄弱，表达概括能力较差，理论联系实际不灵活，因此在教学中运用视频和大量直观的图形． 教学工具 教学课件 课时安排 2课时 教学过程 6.3 正弦型函数的图像和性质 （一）创设情境，生成问题 在物理学、电工和工程技术中，经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ) (其中 A，ω，φ都是常数)的函数，它与和角公式、二倍角公式以及正弦函数 y=sinx等三角知识有着密切的联系.下面来研究这类函数的作图方法和性质. 【设计意图】引出课题. 匀速转动的摩天轮的半径为R，转动的角速度为ω.以摩天轮的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示．若点P0表示座椅的初始位置，∠MOP0=φ，问点P的纵坐标y与时间t之间有怎样的函数关系？ 【设计意图】以生活中实例作为引例体现数学应用. （二）调动思维，探究新知 由正弦函数数的定义，得点 P的纵坐标y 与时间t的函数关系为y=Rsin(ωt+φ) . 形如y=Asin(ωx+φ) (其中 A，ω，φ都是常数)的函数称为正弦型函数.在物理学中，正弦型函数被用来表示简谐振动、正弦式电流等．习惯上，A称为振幅，ωx+φ称为相位，φ称为初相，称为周期， 称为频率. 当A=1，ω=1，φ=0时，函数y=Asin(ωx+φ)就是 y=sinx .因此， 正弦函数是正弦型函数的特殊情况．类比作正弦函数 y=sinx图像的方法，可作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像，从而研究它的性质. 【设计意图】已有的物理知识联系起来体现学以致用. （三）巩固知识，典例练习 【典例1】用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图． 解：(1)列表 描点作图，得到函数y=sinx，x∈[0,2π]的简图. （2）因为所以函数y=sin2x的周期为π.我们作函数y=sin2x在[0,π]上的简图. 令，并列表 描点作图，得到函数y=sin2x，x∈[0,π]的简图. （3）因为所以函数的周期为π.我们作函数在上的简图. 令，并列表 描点作图，得到函数在上的简图. （4）因为所以函数的周期为π.我们作函数在上的简图. 令，并列表 描点作图，得到函数在上的简图. 将例1中作出的四条曲线画在同一个平面直角坐标系，如图所示，可以看出，把函数图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变) ，就得到函数的图像；把函数的图像沿x轴向左平移个单位，就得到函数的图像；把函数图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍 (横坐标不变)，就得到函数的图像. 一般地，将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），就得到函数的图像：把函数的图像沿x轴向左或者向右平移个单位，就得到函数的图像；把函数图像上所有点的纵坐标变为原来的A倍 (横坐标不变)，就得到函数的图像,这里. 因此正弦型函数的图像可用五点法作出，也可由函数的图像经过平移、伸缩得到. 利用正弦函数的性质及正弦型函数的图像，可以得到关于正弦型函数（其中）的一些结论. 定义域：实数集R， 值域：， 周期：. 【设计意图】通过简单到复杂，从特殊到一般，从具体到抽象的探究过程，研究正弦型函数函数的图像和性质. 探究与发现 如何从函数的图像得到函数的图像？ 【典例2】求函数的 ... ...
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