中小学教育资源及组卷应用平台 二次函数的图像和性质 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 知识点 1. 二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，且a≠0）的函数被称为二次函数。其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。它的对称轴是一条垂直于x轴的直线，且有一个顶点，这个顶点可能是最高点（当a<0时）或最低点（当a>0时）。 3. 二次函数的性质： 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 顶点坐标：对于函数y=ax^2，其顶点坐标为(0,0)。对于一般的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标可以通过公式(-b/2a, c-b^2/4a)计算得到。 对称轴：二次函数的对称轴是y轴（即直线x=0），或者更一般地，是直线x=-b/2a。 增减性：当a>0时，函数在对称轴左侧随x的增大而减小，在对称轴右侧随x的增大而增大；当a<0时，情况相反。 最值：当a>0时，函数有最小值，这个最小值发生在对称轴上，即x=-b/2a处，最小值为c-b^2/4a；当a<0时，函数有最大值，这个最大值也发生在对称轴上，即x=-b/2a处，最大值为c-b^2/4a。 4. 二次函数的图像变换：通过改变a、b、c的值，可以改变二次函数的图像。例如，改变a的值可以改变抛物线的开口方向和大小，改变b和c的值可以改变抛物线的位置和形状。 专项练 一、单选题 1．二次函数的图象与x轴交于、B两点，下列说法正确的是（ ） A．它的对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 2．抛物线的顶点坐标是（ ） A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3） 3．下列函数中：①y＝﹣ax2(a＞0)；②y＝(a﹣1)x2(a＜1)；③y＝﹣2x+a2(a≠0)；④．具有过原点，且当x＞0时，y随x增大而减小，这两个特征的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．对于题目“二次函数y＝（x﹣m）2+m，当2m﹣3≤x≤2m时，y的最小值是1，求m的值．”甲的结果是m＝1，乙的结果是m＝﹣2，则（ ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 5．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，﹣1），C（2，2），抛物线y＝ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ） A．a≤﹣1或a≥2 B．≤a≤2 C．﹣1≤a＜0或＜a≤1 D．﹣1≤a＜0或0＜a≤2 7．关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A．它的开口方向向下 B．对称轴是直线x=1 C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．当x=0时，y有最小值是1 8．抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 9．已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形．在图形上任取一点，点的纵坐标的取值满足或，其中．令，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．如图，已知抛物线与轴交于两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为2，为上一动点，为的中点，则的最大值为（ ） A． B． C． D．5 二、填空题 11．二次函数的图象的顶点坐标是 ． 12．如果点A(﹣3，y1)和点B(﹣2，y2)是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1 y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）． 13．抛物线y=x2+2x+4的图象可以看作是将y=x2的图象经过 平移得到的． 14．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系是 ． 15．如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是 ． 16．抛物线的顶点坐标是 ． 17．若函数是二次函数，且图象开口向上，则= ． 18．函数是二次函数，则下列关于它的图像的说法：①开口向上②开口向下③对称 ... ...
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